Supongamos que tenemos una serie de funciones $f_n: \mathbb R \rightarrow [0,1]$ y continuo función $f: \mathbb R \rightarrow [0,1]$ . Supongamos que $f_n \rightarrow f$ en punto como $n \rightarrow \infty$ . ¿Es cierto que $f_n$ ¿también converge uniformemente? ¿Cuál es el caso si todos los $f_n$ y $f$ ¿son funciones monótonas?
Edición1 : Consideremos el caso de que $f_n$ y $f$ son funciones de distribución. Todas son funciones monótonas y continuas con $$\lim_{x\to -\infty}f(x)=0$$ y $$\lim_{x\to\infty}f(x)=1.$$
Ya hay numerosas preguntas en el sitio, la más relevante es esta: ¿La convergencia puntual frente a una función continua implica una convergencia uniforme?
En la respuesta marcada, hay dos contraejemplos, pero creo que ambas series de funciones de ejemplo convergen a un $g(x)=\delta(x)$ que es no continua . ¿Estoy en lo cierto? Si es así, ¿cómo se puede demostrar la afirmación original?
También conozco el Teorema de Dini, pero éste sólo se aplica a funciones sobre intervalos cerrados.
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Esto debería ser un contraejemplo: math.stackexchange.com/questions/1606121/ .
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Si son funciones de distribución, entonces, sí, convergen uniformemente bajo los supuestos establecidos. En otras palabras: la convergencia en la distribución de $X_n$ a $X$ , donde $X$ tiene una CDF continua $F$ implica que $F_n$ convergen uniformemente a $F$ . Aquí está la pregunta/respuesta correspondiente: math.stackexchange.com/questions/1670030/
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Hay, en esencia, dos cuestiones aquí. La primera es si $f_n\rightarrow f$ en punto a $\mathbb{R}$ con todas las funciones continuas, es la convergencia uniforme. Esta afirmación es falsa, como ilustran el enlace de arriba y el ejemplo de abajo (el ejemplo de abajo converge a la función cero y no a un delta). Si se añaden las condiciones que $f_n$ y $f$ son cdf's, entonces la afirmación es cierta, como muestran el otro enlace de arriba y el de abajo.