No-simétrico matriz singular con índice 1

Question

<blockquote> <p>El índice de una matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ es el menor entero no negativo $k$ tal que ${\rm rank}\ (A^{k+1})={\rm rank}\ (A^k)$.</p> </blockquote> <p>Estoy buscando una matriz singular con índice 1. ¿Es posible construir este tipo de matriz? También, debe ser no-simétrico.</p>

Answer 1

Tomar una matriz de $2\times2$: %#% $ $$A=\begin{pmatrix}a&&b\c&&d\end{pmatrix}$ #% a ser singular, es necesario que $X$, $\det(A)=0$. En este caso, $ad-bc=0$ (suponiendo que existe al menos un elemento distinto de cero, por supuesto). Por otra parte, $rank(A)=1$, que reduce otra vez a $\det(A^2)=(bc-ad)^2=0$ y $ad-bc=0$.

Ahora sólo tiene que probar varios valores y resolver para el resto de ellos. Para instane, $rank(A^2)=1$ y seguir.

Answer 2

Usted puede tomar un proyector. Para el caso $n=2$ por ejemplo $$\begin{pmatrix}1&-1\0&0\end{pmatrix}.$ $