¿Exactamente 5 sólidos platónicos: donde en la prueba necesitamos convexidad y regularidad?

Question

La famosa declaración de que

Sólo cinco convexos regulares los poliedros de existir.

normalmente se demuestra de la siguiente manera:

Deje $P$ ser un poliedro regular convexo con

• V vértices,
• E los bordes y
• F caras.

Además, vamos a

• n el número de lados de cada cara y
• c ser el número de aristas que convergen en un vértice.

A continuación,$F=\frac{2E}{n}$$V=\frac{2E}{c}$$c\geq 3, n\geq 3$.

Sustituyendo esto en Euler poliedro fórmula $$ V-E+F=2, $$

y haciendo unos sencillos cálculos, se obtiene que sólo

$$ (V,E), F)\en\{(4,6,4),(8,12,6),(20,30,12),(6,12,8),(12,30,20)\} $$ son las combinaciones posibles.

Tan lejos, tan bueno.

Pero, ¿de dónde tenemos que $P$ es convexo y regular?

(Creo que la regularidad se usa para$n\geq 3, c\geq 3$, ¿no?)

Answer 1

Como ya se ha dicho en los comentarios, la regularidad significa que está compuesto de igualdad de caras, lo que permite conectar los números $V$, $E$ y $F$ por algunas relaciones algebraicas. Esta es la parte izquierda de la identidad de Euler $$E-V+F=2$$ Ahora, convexivity es, de hecho, del lado derecho.

En general, para una superficie de $S$, la fórmula de lee $$E-V+F=\chi(S)$$ donde $\chi$ es la característica de Euler (definido por la ecuación anterior o, alternativamente, por la alternancia de la suma de las dimensiones de la homología de grupos).

Si un poliedro es convexo, puede ser demostrado que es límite es homeomórficos (topológicamente equivalente) para una esfera $\mathbb{S}^2$, e $\chi(\mathbb{S}^2)=2$, proporcionando la parte derecha de la ecuación de Euler.

Así, convexo es sólo una simplificación; la clasificación que realmente funciona para todos los poliedros homeomórficos a una pelota. Para algunos otros topología, una clasificación diferente que pueda surgir.

Answer 2

La regularidad se utiliza para reducir consideración a una sola cara o vértice, porque todos ellos son similares. Convexidad viene de Euler de la fórmula que se utiliza con regularidad, de forma implícita. Es decir, desde cada vértice es similar a cualquier otro vértice, el sólido debe ser convexa en cada vértice, si es convexa en un vértice, de lo contrario si no es convexa en un vértice, a continuación, todos los vértices no son convexos y de Euler fórmula debe ser modificada.

Usted puede leer el artículo de la Wikipedia característica de Euler para obtener más detalles sobre el papel de la convexidad y también enlaces a la Wikipedia el artículo "Pruebas y refutaciones" , que es muy relevante.

Answer 3

Hay cinco sólidos platónicos porque su definición los restringe a poliedros.

Un sólido platónico es un poliedro regular, convexo. Es construida por caras poligonales regulares congruentes con el mismo número de caras en cada vértice.

Si todas las estructuras geométricas están incluidas el resultado es las doce formas de FFELLONIC, una serie completa que van desde un triángulo hasta el más denso espacio relleno nido de abeja.