¿Donde se encuentra el wavefunction dependiente del tiempo $\Psi(\vec{x},t)$?

Question

Supongamos $\vec{x}=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$. El estado de un sistema físico es descrito por la función de $\Psi(\vec{x},t)$, en el que debe satisfacer

$$\int_{\mathbb{R}^3} d^3\vec{x}\;\vert\Psi(\vec{x},t)\vert^2 = 1,$$

pero, donde esta $\Psi$ mentiras? La mayoría de los libros de texto dicen que el estado de un sistema físico se encuentra (cuando la ecuación de Schrödinger es independiente del tiempo) en $L^2(\mathbb{R}^3, d^3\vec{x})$, pero esto no es exacto, ya que $\Psi(\vec{x},t)=\Psi(x,y,z,t).$

Incluso cuando la solución de la ecuación de Schrödinger es separable, y, por lo tanto es algo así como

$$ \Psi(\vec{x},t)=\psi(\vec{x})e^{-i\omega t} $$

$\Psi$ no radica en $L^2(\mathbb{R}^3)$, aunque, $\psi(\vec{x})$.

Entonces, mi pregunta es ¿cuál es el espacio matemático que $\Psi(\vec{x},t)$ mentiras? Mi conjetura es que se encuentra en algún espacio como $L^2(\mathbb{R}^3)\times C(\mathbb{R})$ pero no estoy seguro.

Answer 1

El espacio de Estados de la mecánica cuántica usual es el espacio de funciones independientes del tiempo $L^2(\mathbb{R}^3,\mathrm{d}^3x)$. $\psi(\vec x,t)$ es no un solo Estado, es la versión cuántica de una trayectoria - da la evolución de tiempo completo de un estado, es decir, cada $t$, da un estado. Por lo tanto, $\psi(\vec x,t)$ debe considerarse como una (lisa) mapa $$ \mathbb{R}\to L^2(\mathbb{R}^3), t\mapsto \psi(\dot{},t)$ $ donde $\psi(\dot{},t)$ (para el fijo $t$!) ahora es un elemento de $L^2(\mathbb{R}^3)$.

Answer 2

La mecánica cuántica es estudiado a menudo, ya sea en la Schrödinger imagen o en la imagen de Heisenberg. En la imagen de Heisenberg (que la mayoría de la gente le gusta usar más a menudo), estado vectores son independientes del tiempo y todo el tiempo que la dependencia se encuentra en los operadores. En la imagen de Heisenberg, el estado de un sistema está dada en un tiempo determinado sector y, por tanto, la función de onda $\psi(\vec{x})$ es un elemento de $L^2({\mathbb R}^3)$. Los operadores están ahora las funciones de $t$,${\hat A}_H(t) = e^{i {\hat H} t} {\hat A}_S e^{-i {\hat H} t}$. La expectativa de valor de cualquier operador, a continuación, $$ A_\psi(t) = \frac{ \int d^3 x \psi^*(\vec{x}) {\hat A}_H(t) \psi(\vec{x}) }{ \int d^3 x \psi^*(\vec{x}) \psi(\vec{x}) } $$

En la imagen de Schrödinger, mientras que el estado es dependiente del tiempo. La etiqueta de cada estado por un tiempo independiente de la función de onda correspondiente al estado del sistema en un determinado tiempo fijo $t = t_0$. Por supuesto, unitarity implica que no hay un único invertible mapa de este estado a al estado en cualquier otro momento. Por lo tanto, incluso en la imagen de Schroedinger, aunque directamente no obvio, el espacio de estados es independiente del tiempo.