Es la solución de mínimos cuadrados para un sobredeterminada sistema de un triángulo en el centro?

Question

Mi pregunta se refiere a un caso simple de los mínimos cuadrados problema. Tomemos, por ejemplo, el sistema de ecuaciones \begin{align*} 2x- y &= 2, \\ x + 2y &= 1, \\ x+y &= 4, \end{align*} lo que es claramente sobredeterminada. El uso de un enfoque de mínimos cuadrados, se puede resolver el sistema $$A^TA\mathbf{x^*} = A^T\mathbf{b},$$ where $\mathbf{x^*}$ minimises $\|\ Un\mathbf{x} -\mathbf{b} \ \|$, and $$A = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \ , \quad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \quad \mbox{and} \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},$$ para obtener una aproximación de la solución en $\left(\frac{10}{7}, \frac{3}{7} \right)$.

Si se hace una gráfica de las tres líneas rectas que constituyen el sistema de ecuaciones, que se cortan en tres puntos que forman los vértices de un triángulo.

Mi pregunta es - ¿la solución siempre caen dentro de este triángulo (como en este ejemplo), y si es así, es este el punto a (no tradicionales) el triángulo del centro?

Answer 1

Como Rahul Narain comentado, la posición precisa de los mínimos cuadrados solución depende de la escala del individuo ecuaciones: a medida que la escala de una ecuación, por lo que hace a la importancia de la distancia de su solución en la línea correspondiente, y el de mínimos cuadrados de la solución va a terminar más cerca de esa línea. Se puede decir que, en cualquier caso, el de los mínimos cuadrados de la solución se encuentran en el interior del triángulo formado por las tres líneas, ya que por un punto en cualquiera de los otros $6$ sectores en los que las líneas de corte hasta el avión, se mueve en alguna dirección disminuirá las distancias a las tres líneas al mismo tiempo, así que uno nunca puede tener un mínimo de allí.

En el especial caso de que la escala de las ecuaciones de tal manera que para cada uno de los la suma de cuadrados de los coeficientes da el mismo valor (por ejemplo,$~1$), entonces se puede describir el de mínimos cuadrados de la solución como el único punto de$~P$ tal que la suma de los tres vectores de $P$ a sus proyecciones ortogonales sobre las tres líneas es igual a cero; en otras palabras $P$ es el baricentro de su propio pedal del triángulo (el triángulo formado por las proyecciones). Que esto es así puede ser visto fácilmente tomando la fórmula implícita en el comentario de @bubba y diferenciación.

Dando una construcción geométrica de un punto es un problema interesante que probablemente ha sido considerado por la gente, pero no veo una solución fácil ahora, tampoco recuerdo haber visto nada directamente relacionados. En particular, estoy seguro de si este punto coincide con alguno de los muchos "centros", asociada a un triángulo; sin embargo, dado que hay tantos de ellos, y la descripción del punto que nos interesa es que es muy natural, yo apuesto a que lo hace igual a uno de esos centros.

En efecto, gracias darij grinberg por señalar que este es el Symmedian Punto, las propiedades enumeradas en el enlace que corresponden exactamente a lo que estamos buscando aquí.