Espacio de Banach de las funciones de Lipschitz

Question

Permita que$X$ sea un espacio métrico compacto, y$F$ el espacio de todas las funciones de lipschitz$X \to \mathbf{C}$. Deje$|f|_L$ ser la menos constante de Lipschitz. Dotamos$F$ con la norma$||f|| = |f|_L + |f|_\infty$. Quiero mostrar que$F$ es un espacio de Banach. El teorema de Ascoli implica que cualquier secuencia de Cauchy para esta norma tiene un límite para la norma$| \cdot |_\infty$. ¿Qué pasa con la norma$|\cdot|_L$? Obviamente, una función que es pequeña para esta norma puede tener una gran constante de Lipschitz, así que no puedo concluir. ¿Cualquier pista?

Gracias.

Answer 1

Fix $\varepsilon>0$. Podemos encontrar $N(\varepsilon)$ tal que para todos los $n,m\geq N(\varepsilon)$ y todos los $x,y\in X$ con $x\neq y$: $\frac{|(f_n-f_m)(x)-(f_n-f_m)(y)|}{d(x,y)}\leq \varepsilon$. Desde $f_n$ converge a $f$ pointwise, hemos de tomar el límite de $m\to\infty$ $x,y$ fijo que \begin{equation} (*) \quad \forall n\geq N(\varepsilon),\forall x,y\in X,x\neq y\quad\frac{|(f_n-f)(x)-(f_n-f)(y)|}{d(x,y)}\leq \varepsilon. \end{equation} En particular, para $n=N(\varepsilon)$ tenemos $\frac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y)}\leq \varepsilon+\frac{|f_{N(\varepsilon)}(x)-f_{N(\varepsilon)}(y)|}{d(x,y)}$, lo que muestra que $f$ es de Lipschitz. Ahora tenemos que demostrar que $|f-f_n|_L$ converge a $0$. Pero esto es una consecuencia de $(*)$, ya que sólo tiene que tomar el supremum sobre estos $x$$y$.

Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos uso del teorema de Ascoli para mostrar que $\{f_n\}$ tiene un límite (sólo el uso de la misma prueba al demostrar que el conjunto de las funciones reales continuas sobre un espacio compacto para el uniforme de la norma es un espacio de Banach).

Aquí compacidad es necesario para asegurarse de que cada función de Lipschitz es acotado, ya que dicha función es continua.