Problema de Dirichlet en un anillo.

Question

Después de haber encontrado la solución para el problema de Dirichlet en la región de $A=\{x+iy: 0\leq y\leq 1\}$ tal que $u(x,0)=0$$u(x,1)=1$$u(x,y)=y$, se me pide que encuentre, usando la conformación de mapas, la solución en $B=\{z:r_1\leq|z| \leq r_2 \}$ tal que $u(z)=0$ sobre el disco interno y $u(z)=1$ en el exterior.

Ahora, yo podría encontrar un mapa de conformación de $A$ a $B$ $z \rightarrow e^{i((z-i)\log r_1- z\log r_2)}$

Pero creo que me falta un mapa de $B$ a $A$ lugar y esta es, obviamente, no es invertible..

Una vez que me encuentro con este mapa de conformación yo se haría como la solución de la herida, simplemente, ser la composición de la solución en la franja de gaza y el mapa de conformación.

EDIT1: no puedo encontrar una solución bastante fácil que es$u(x,y)= \frac{1}{\log\frac{r_2}{r1}}\log(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r_1})$, pero me gustaría usar el mapa de conformación método!

EDIT2: continua en la señora de la sugerencia: después de haber encontrado la solución, tenemos que si hay un mapa de conformación $f$ $B$ a $A$ $f(x+iy)=u_1(x,y)+i\ u_2(x,y)$ donde $u_2=u$ la solución que encontramos, entonces usamos C-R ecuaciones para trabajar la armónica conjugada de $u$ y nos encontramos con que $f(x,y)=\frac{1}{\log\frac{r_2}{r1}}(\frac{r_2}{r_1}\tan^{-1}\frac{x}{y}+ i\log\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r_1})$

EDIT3: el $f$ me encontrado, lamentablemente, tiene dos problemas: es posiblemente no holomorphic al$y=0$, y la imagen del anillo bajo es sólo un rectángulo...

Answer 1

No es importante que la asignación es de uno a uno. Ser una solución del problema de Dirichlet es una propiedad local, independiente de si el que implica la asignación de varias hojas. También el hecho de que la asignación no es holomorphic en en la imagen de la $r=0$ es importante ya que es fuera de la región,$B$. Lo que es importante sin embargo es comprobar si la función representada es único, es decir, si el valor de la función en las diferentes hojas de dar el mismo resultado.

La asignación de $f\colon A\mapsto B$ está dado por la expresión $$f(z) = e^{(i z+1 )\log r_1- iz\log r_2} = r_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{iz}.$$ Como usted ha notado la función inversa es multivalor $$f^{-1}(w)= i\frac{ \log(w/r_1)}{\log(r_2/r_1)} $$ pero esto no nos impiden la asignación de la solución de $u$$A$$B$.

Comenzando con $u(x,y)=y$ definido en $A$, tenemos un mapa a través de $f$ $B$encontrar la solución a $v= \mathop{\rm Im} f^{-1}(z)$$B$; más explícitamente $$v(r=|w|) = \frac{ \log( r/r_1)}{\log (r_2/r_1)}.$$ Tenga en cuenta que aunque a la inversa fue inicialmente multivalor la solución de $v$ está definida de forma única y, de hecho, independiente de $\text{arg} w$!