Número de elementos de un orden dado en un grupo

Question

Ejemplo 1: "Calcular el número de elementos de orden 2 en el grupo $C_{20} \times C_{30}$ "

Para ello, dividí los grupos en sus descomposiciones primarias y obtuve que los grupos con elementos de orden 2 son $C_4$ y $C_2$ . A partir de aquí, para luego calcular el número de elementos de orden 2 que hice:

$\varphi(4) = 2$ , $\varphi(2) = 1$

Por tanto, el número de elementos de orden 2 será $(2 + 1)^2 - 1 = 3$ que era la respuesta correcta.

Sin embargo

Ejemplo 2: "Calcular el número de elementos de orden 35 del grupo $\mathrm{Aut}(C_{6125})$ "

Para ello, basta con comprobar que 35 divide a 6125 y utilizar la función totiente de Euler. ¿Por qué no tengo que dividir 6125 en su descomposición primaria y luego utilizar esa pequeña fórmula para calcular el número de elementos? ¿Es porque se trata de un grupo cíclico y entonces puedo usar la función de Euler, pero como el otro es un producto directo, tengo que usar un método diferente?

Answer 1

$C_{20} \times C_{30} \cong C_4 \times C_5 \times C_2 \times C_3 \times C_5$

Sí, $C_{2}$ y $C_4$ tienen subgrupos de orden 2:

$\varphi(4) = 2$ , $\varphi(2) = 1$

"Así que el número de elementos de orden 2 será $(2 + 1)^2 - 1 = 3$ que era la respuesta correcta".

$3$ es el número correcto de subgrupos de orden $2$ pero $3 = 2 + 1 \ne (2+1)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ .

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$\text{Aut}(C_{6125}) \cong \text{Aut}(C_{5^3}) \times \text{Aut}(C_{7^2})\not \cong C_{6125} \cong C_{5^3} \times C_{7^2}$

El grupo de automorfismo de un grupo se define como un grupo cuyos elementos son todos los automorfismos de la grupo base (grupo base aquí $C_{6125}$ )y donde el la operación de grupo es la composición de automorfismos . En otras palabras, obtiene una estructura de grupo como subgrupo del grupo de todas las permutaciones del grupo.

Hay exactamente un elemento de orden $\,7\,$ en $\,\text{Aut}(C_{7^2})\,$ y exactamente un elemento de orden $\,5\,$ y exactamente uno de orden $\,25\,$ en $\,\text{Aut}(C_{5^3})\,$ llamémosles $\,a,\,b,\,c\,$ respectivamente. Entonces los elementos de orden $\,35\,$ son los siguientes:

$$(a^i,b^j),\;(a^i,c^{5j})\;\;\;1\leq i\leq 6,\;\;1\;\leq j\;\leq 4$$

¿Puedes calcular el número de elementos de orden $35$ en $\text{Aut}(C_{6125})$ ?

Answer 2

Para la pregunta sobre el número de elementos de orden dos en $\,C_{20}\times C_{30}\,$ cada uno de ambos factores tiene un único elemento de orden dos (¿por qué?) , digamos $\,a\in C_{20}\,,\,b\in C_{30}\,$ . Así, los elementos de orden dos son $\,(a,1)\,,\,(1,b)\,,\,(a,b)\,$ . ¿Puedes ver por qué no hay más?

En cuanto a la segunda pregunta: puesto que

$$6,125=7^2\cdot 5^3\Longrightarrow\left|Aut \left(C_{6,125}\right)\right|=\left|Aut(C_{49})\times Aut(C_{125})\right|=\left(7\cdot 6\right)(5^2\cdot 4)=4,200$$

Hay un único elemento de orden $\,7\,$ en $\,Aut(C_{49})\,$ y un único elemento de orden $\,5\,$ y uno de orden $\,25\,$ en $\,Aut(C_{125})\,$ , digamos $\,a\,,\,b\,,\,c\,$ resp., por lo que los elementos de orden $\,35\,$ son

$$(a^i,b^j)\,,\,(a^i,c^{5j})\;\;,\;\;1\leq i\leq 6\,\,,\,\,1\leq j\leq 4$$