Desigualdad con problema de determinantes

Question

Que $A,B \in M_{2}(\mathbb{R})$ $AB=BA.$ demostrar que: $$\det(A^{2}+AB+B^{2})\geq (\det(A)-\det(B))^{2}$ $

Answer 1

La desigualdad es falsa. Tomar

$$ A = \left (\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{matriz} \right), \ B = \left (\begin{array}{cc} -1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{matriz} \right) $$

Entonces $A^2=B^2=A,AB=B$ para

$$ A ^ 2 + AB + B ^ 2 = \left (\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 3 \ \end{matriz} \right) $$

Por lo tanto

$ {\sf det} (A ^ 2 + AB + B ^ 2) = 3, \ ({\sf det} (A)-{\sf det}(B)) ^ 2 = 4 $$