¿Continuidad implica Borel-mensurabilidad?

Question

Que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función continua. ¿Es necesario que $f$ es Borel-mensurable?

Estoy pensando en $A=f^{-1}((a,\infty))$ donde $a\in\mathbb{R}$. ¿Es $A$ necesariamente un conjunto de Borel? Parece que debería ser, pero no estoy seguro.

Answer 1

Sugerencia: $(\alpha,\infty)$ está abierto, y $f$ es continua.