¿Cómo decirle a un ideal del anillo polinómico entero es principal?

Question

Entiendo que los Anillos polinómicos uni-variante aleatoria con coeficientes en un campo sólo ideales principales. Por ejemplo, $\mathbb{C}[x]$. Pero, ¿cómo puedo saber si un ideal del anillo polinómico entero es principal, por favor? Por ejemplo, un libro de texto afirma que "el núcleo del mapa $\mathbb{Z[x]} \rightarrow \mathbb{Z[i]}$ envío $x \mapsto i$ es el ideal principal de $\mathbb{Z}[x]$ de $f=x^2+1$" sin ninguna justificación. ¿Cómo mostrar esto es cierto, por favor?

Answer 1

En este caso, es bastante fácil. Puesto que el polinomio $f$ es monic, puede escribir cada $p \in \mathbb{Z}[x]$ como

$$p = q\cdot f + r$$

$r \in \mathbb{Z}[x]$ de grado a lo más uno. Desde - fácilmente verificada - mapas de $f$ $0$, el núcleo de $\pi \colon g \mapsto g(i)$ seguramente contiene el principal ideal $(f)$ de $f$, y para mostrar que contiene nada más, por lo anterior es suficiente para mostrar que ningún polinomio de grado $\leqslant 1$ excepto el polinomio cero es asignan a $0$. $a + bx \mapsto a + bi$, Que $a+bx \in \ker \pi \iff a = b = 0$.

Answer 2

Ya sabes que $\mathbb{R}[x]$ es principal, puede usar eso.

Considerar la extensión del mapa $x\mapsto i$ $\mathbb{R}[x]$. El núcleo de este mapa es claramente el principal ideal $I=(x^2+1)\mathbb{R}[x]$. Ahora consideremos $I\cap\mathbb Z[x]$, que es el núcleo del mapa original. Si $g\in \mathbb R[x]$ y $g(x)(x^2+1)\in\mathbb{Z}[x]$, luego por expansión del producto es fácil de ver que de hecho $g\in \mathbb Z[x]$.

Answer 3

Un primer ideal en ${\bf Z}[x]$ sólo puede ser $(0)$, principal, o máxima. Su ideal no es $(0)$ porque tiene un evidente elemento distinto de cero. No es máxima porque ${\bf Z}[i]$ no contiene un campo. Esto deja una opción.