¿Cómo encontrar la base de un módulo que dado un conjunto de generadores?

Question

Haciendo un pequeño estudio y estoy dado de un submódulo de $\mathbb{Z}^3$ de $f_1=(1,0,-1)$, $f_2=(2,-3,1)$, $f_3=(0,3,1)$ y $f_4=(3,1,5)$.

¿Cómo puedo encontrar una base del submódulo? Puse en una matriz y reducido $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \ 0 & -3 & 3 & 1 \ -1 & 1 & 1 & 5\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \ 0 & -3 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 4 & 9\end{pmatrix}. $$ ¿Significa esto que sólo tomo ${f_1,f_2,f_3}$ como base para el submódulo? ¿Cuál es la forma general de hacer estos cálculos?

Answer 1

Caso general: Estás en el caso afortunado que estás sobre un dominio de gcd. En este caso, revisa el Algoritmo de reducción de Base en este artículo.