Pregunta sobre la prueba de Wantzel de la condición necesaria para la construcción de brújula / regla

Question

Estoy tratando de comprender Wantzel original de la prueba de las condiciones necesarias para que constructibility con la regla y el compás. Se expresa en términos de polinomios en lugar de extensiones de campo. Se describe en la página 7 de este PDF.

Hay un punto que no entiendo (me he leído el original de 1837 papel y no más claro). Wantzel tiene una secuencia finita de polinomios cuadráticos tal que los coeficientes de cada polinomio son funciones racionales de las raíces de todas las ecuaciones anteriores. Ahora él quiere, básicamente, "doblar" la secuencia en un único polinomio de grado $2^n$.

Voy a introducir un poco de notación aquí y el uso de $R$ para indicar cualquier función racional, justo como $o(x)$ significa que una función arbitraria que es infinitesimal en comparación con $x$. En particular, $R$ puede representar dos funciones racionales, incluso dentro de la misma fórmula.

Si las dos últimas ecuaciones son:

$$\begin{align} R(x_1...x_{n-2})x_{n-1}^2+R(x_1...x_{n-2})x_{n-1}+R(x_1...x_{n-2})&=0 \\ R(x_1...x_{n-1})x_n^2+R(x_1...x_{n-1})x_n+R(x_1...x_{n-1})&=0 \end{align}$$

Entonces, ¿qué Wantzel hace es tomar las dos raíces de la primera ecuación, y considerar los dos posibles valores que el lado izquierdo de la segunda ecuación podría tomar cuando estos dos valores son sustituidos por $x_{n-1}$. Él entonces se multiplica ellos juntos, y afirma que esto elimina la $x_{n-1}$, en otras palabras, que ahora tiene un polinomio de grado $4$ donde cada coeficiente es $R(x_1...x_{n-2})$. Tenga en cuenta que Wantzel afirmado previamente que todas las funciones racionales en el problema puede ser asumida como funciones lineales.

Ahora, por supuesto, si usted se multiplican entre sí los dos raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes en un campo dado,$F$, usted va a obtener un valor en $F$. Pero aquí, los dos raíces están envueltos dentro de las funciones racionales, que luego son utilizados como coeficientes de polinomios cuadráticos, y, sin embargo, de alguna manera, todavía supuestamente funciona. Cálculo explícito parece indicar que es falso en general, lo cual me hace pensar que yo podría haber entendido mal la prueba.

Answer 1

Deje $A(x), B(x), C(x)$ funciones racionales en un campo de $K$. Ahora vamos a $a, a'$ ser el origen de una irreductible ecuación cuadrática $K$. Sólo tendremos que escribir $A, B, C$$A(a), B(a)$$C(a)$, e $A', B', C'$$A(a'), B(a'), C(a')$.

Ahora considere la ecuación

$$Ax^2+Bx+C=0$$

Y modificarlo para obtener esta ecuación:

$$(Ax^2+Bx+C)(A'x^2+B'x+C')=0 \tag 1$$

El lado izquierdo puede escribirse:

$$AA'x^4+(AB'+BA')x^3+(AC'+BB'+CA')x^2+(BC'+CB')x+CC'$$

Los coeficientes de este polinomio son claramente simétrica en $a, a'$. Podríamos haber predicho esto sin distribuir (1), ya que para obtener los coeficientes tras un cambio de $a$$a'$, simplemente se podría intercambiar $a$ $a'$ en (1) y , a continuación, distribuir, pero que claramente dan a los mismos coeficientes, como acaba de distribución (1), ya que (1) es simétrica en $a$$a'$.

Dado que los coeficientes son simétricas en $a$$a'$, que se encuentran en $K$, de modo que (1) nos da la ecuación (grado 4) por $x$ con coeficientes en $K$.

Esto es precisamente lo que Wantzel está haciendo. La última ecuación en su sistema es $Ax_n^2+Bx_n+C=0$ donde $A, B$ $C$ son racionales en $x_{n-1}, ... x_1$, e $x_{n_1}$ es cuadrática en el campo $K$ generado por $x_{n-2}, ... x_1$. Así que swaps $x_{n-1}$ $A, B, C$ con su conjugado para obtener $A', B', C'$ y hace exactamente lo que hicimos anteriormente. La iteración, se obtiene un racionales de la ecuación de $x_n$ grado $2^n$.