¿Es una extensión de Galois de $\mathbb{Q}(5^{1/3})$ $\mathbb{Q}$?

Question

Estoy tratando de probar o refutar que el % de la extensión simple $\mathbb{Q}(5^{1/3})$Galois $\mathbb{Q}$.

Sospecho que esta extensión no es Galois, porque una extensión si Galois $\mathbb{Q}$ si y solamente si es el campo División de un polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$. Sabemos que $5^{1/3}$ es una raíz de $x^3-5$ $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}(5^{1/3})$ no es el campo división completo de $x^3-5$. Sin embargo, no estoy seguro cómo probar que esta extensión no es en realidad Galois.

Answer 1

Si una extensión es de Galois debe ser normal y es equivalente a decir que si un polinomio irreducible en $K/E$ $E[x]$ tiene una raíz, entonces sus raíces deben se encuentran en $K$ $K$ ser normal.

Así, para mostrar que $\mathbb{Q}(5^{1/3})/\mathbb{Q}$ no es Galois, todo lo que necesitas hacer es encontrar un polinomio irreducible con una raíz en su campo de extensión que no, que parece que has hecho.

Answer 2

Galois $\equiv$ Vegas. Lo que pasa $\in$ Vegas, se queda $\in$ Vegas.

La proposición. Supongamos $L/K$ es de Galois y el intermedio en $M/L/K$. Cualquier $K$-automorphism de $M$ corrige $L$ setwise ((aunque rara vez pointwise, que es una condición más fuerte)).

Prueba de guía. Deje $L$ ser la división de campo de la $f(x)$$K$. Es decir, se genera sobre $K$ por el conjunto completo de las raíces de $K$. Compruebe que todas las $\sigma\in{\rm Aut}_KM$ corrige $K$ y corrige el conjunto de raíces de $f(x)$.

Si $\alpha$ es una raíz de $f(x)$ $\Bbb Q$ $\Bbb Q(\alpha)$ se encuentra dentro de la división de campo de $S$$f(x)$. Para comprobar que el $\Bbb Q(\alpha)$ no es Galois es suficiente para encontrar un conjugado de $\alpha$ no figura en $\Bbb Q(\alpha)$. Usted puede hacer eso con $\Bbb Q(2^{1/5})$.

Answer 3

Algo directo: tenga en cuenta que si $\sigma : \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) \to \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ fueron un morfismo (fijar $\mathbb{Q}$), entonces $\sigma(\sqrt[3]{5})$ es también una raíz de $x^3-5$, sin embargo $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})\subseteq {\mathbb R}$ y por lo tanto, sólo puede ser $\sigma(\sqrt[3]{5}) = \sqrt[3]{5}$, porque las otras raíces no son reales y por lo tanto no pertenecen a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$. Esto implica que el $\sigma = id$ (¿por qué?), así que este es el tal morfismo. Por lo tanto, el campo fijo de ${\text Gal}({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5})/{\mathbb Q})$ es...