Simplificar una expresión en $\Bbb{Q}(\zeta_p)$

Question

Sea $\zeta_p$ raíz $p$-th de la unidad, donde $p$ es un número primo impar.

Sólo me encontré con la siguiente expresión:

$$\frac{(\zeta_p^2-\zeta_p+1)^3}{\zeta_p^2(\zeta_p-1)^2}.$$ Can we simplify this expression somehow? For $p = 3$, I can rewrite this to $% $ $\frac{8}{(\zeta_3-1)^2}.$

Pregunta. Podemos simplificar lo %#% $ #%

Tenga en cuenta que esta expresión no cambia si reemplazar por uno de los elementos en $$\frac{(\zeta_p^2-\zeta_p+1)^3}{\zeta_p^2(\zeta_p-1)^2} ?$ $\zeta_p$.

Answer 1

Hay al menos un par de rentables formas de volver a escribir esto. Un corto triggy respuesta es que su expresión se simplifica a $$ \frac{\left(2\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)-1\right)^3}{2\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)-2}, $$ que para $p=3$ da el valor de $\boxed{\frac{8}{3}}$ que alude a la anterior, y por $p=5$ da el prolijamente al azar en busca de valor de

$$\frac{\left(\sqrt{5}-3\right)^3}{4(\sqrt{5} - 5)}=\frac{8\sqrt{5}-18}{\sqrt{5} - 5}=\boxed{\frac{2}{11\sqrt{5}+25}.}$$

Para hablar de la labor que lleva a la simplificación, es ligeramente más conveniente desde el punto de vista de la teoría algebraica de números para lidiar con el recíproco $$ \xi_p:=\frac{\zeta_p^2(\zeta_p-1)^2}{(\zeta_p^2-\zeta_p+1)^3}. $$ En primer lugar, no es demasiado duro para comprobar que $\zeta_p^2-\zeta_p+1$ es una unidad de $\mathbb{Z}[\zeta_p]$$p>3$, por lo que escribir como $$ \frac{\zeta_p^2}{(\zeta_p^2-\zeta_p+1)^3}\cdot (\zeta_p-1)^2 $$ deja en claro que $\xi_p$ algebraica entero (esta es la razón por la que yo quería que el recíproco), de asbolute norma $p^2$ (desde $\zeta_p-1$ es un grado 1 prime por encima de $p$$\mathbb{Q}(\zeta_p)$.) Segundo, vamos a aprovechar el hecho de que sabemos que $\xi_p$ es totalmente real, y así un elemento de $\mathbb{Z}[\zeta_p^+]$ donde $\zeta_p^+:=\zeta_p+\zeta_p^{-1}.$ Desde el anterior re-escritura, es razonable esperar (en realidad, probablemente imposible) por $\xi_p$ vivir en cualquier subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta_p^+)$. Por lo que una interpretación razonable para el problema de un último simplicación de $\xi_p$ es escribir completamente en términos de $\zeta_p^+$. Vamos a hacer esto ahora: $$ \xi_p=\frac{\zeta_p^2(\zeta_p-1)^2}{(\zeta_p^2-\zeta_p+1)^3}=\frac{\zeta_p^3}{(\zeta_p^2-\zeta_p+1)^3}\cdot \frac{(\zeta_p-1)^2}{\zeta_p}=\frac{\zeta_p+\zeta_p^{-1}-2}{(\zeta_p+\zeta_p^{-1}-1)^3}=\boxed{\frac{\zeta_p^+-2}{(\zeta_p^+-1)^3}} $$ Ahora la escritura $\zeta_p^+=2\cos(2\pi/p)$ y reciprocantes da la fórmula en la parte superior de esta respuesta.

Por último, permítanme mencionar que a partir de una teoría algebraica de números de punto de vista, es posible que más me útiles para escribir $\xi_p$ no en términos de $\zeta_p^+$, pero en términos de un primer de $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ sobre $p$, es decir, en términos de $$ \mathfrak{p}:=(1-\zeta_p)(1-\zeta_p^{-1})=2-\zeta_p^+. $$ Re-escritura de la anterior caja de la expresión, podemos finalmente concluir con la razonable concisa (y algebraicamente transparente) la formulación $$ \xi_p=\boxed{\frac{\mathfrak{p}}{\left(1-\mathfrak{p}\right)^3}.} $$

Answer 2

Si se reescribe la expresión un poco verás que en realidad es un número real. Esto no está tan claro de la expresión de sí mismo. Por otra parte, puede reemplazar su zeta por cualquier número complejo en el círculo unitario. Creo que esto es todo que se puede decir sin embargo.