Hay un par de errores, al menos uno de los cuales es un pequeño desliz. Utilizaré la notación del post.
La ecuación $$V=\frac{1}{3}\pi h^3 \tan^2\theta$$ para $V$ en función de $h$ es correcto. Puesto que $\tan\theta=\frac{1}{3}$ sería más limpio escribir $V=\frac{1}{27}\pi h^3$ . Pero seguiremos utilizando $\tan^2\theta$ . Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a $t$ . Aquí hay dos errores en el post. Por la regla de la cadena, tenemos $$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt}=(\pi h^2\tan^2\theta)\frac{dh}{dt}.$$ Hubo un pequeño desliz aquí, usted escribió $2h^2$ para la derivada de $h^3$ con respecto a $h$ y debe ser $3h^2$ . Además, los $\frac{dh}{dt}$ parte, aunque mencionada correctamente una vez, aparece más tarde en el lado "equivocado" de la ecuación para $\frac{dV}{dt}$ . La regla de la cadena suele ser una herramienta esencial en los problemas de tipos relacionados, y debe manejarse con cuidado.
Ahora que tenemos una relación general entre $\frac{dV}{dt}$ y $\frac{dh}{dt}$ "congelar" las cosas en el instante $t$ cuando $r=2$ . Cuando $r=2$ tenemos $h=6$ . Y mientras el cono se llena, $\frac{dV}{dt}=12$ . Así que en el instante en que $r=2$ tenemos $$12=(\pi)(6^2)(\tan^2\theta)\frac{dh}{dt}.$$
Has hecho algo de trabajo innecesario en el punto correspondiente de tu cálculo, pero no ha provocado un error. Ha encontrado $\theta$ utilizando la calculadora y, a continuación $\tan^2\theta$ . Eso no es necesario, puesto que usted ya sabe que $\tan\theta=\frac{1}{3}$ . Sea cual sea el enfoque que adoptemos, debemos conseguir $$12=(\pi)(6^2)(1/3)^2\frac{dh}{dt} =4\pi\frac{dh}{dt}.$$ Resolver para $\frac{dh}{dt}$ . Encontramos que, en el instante en que $r=2$ , $$\frac{dh}{dt}=\frac{12}{4\pi}=\frac{3}{\pi}.$$ Numéricamente, la respuesta es $0.95493$ .
Añadido : Examinamos brevemente el problema del "cubo" que se añadió al post. Tenemos $\frac{dV}{dt}=5$ y quiere $\frac{dA}{dt}$ . Creo que lo natural es dejar que $s=s(t)$ sea el lado en el momento $t$ . (En el post se llama $l$ también está bien, pero se parece demasiado a $1$ !) Todo el mundo sabe que $$V=s^3 \text{ and } A=6s^2$ . $$ Don't think, differentiate with respect to time. $$ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\frac{ds}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt} \text{ y } \frac{dA}{dt}=12s\frac{ds}{dt}. $$ We have $ \frac{dA}{dt}=5 $. When $ V=216 $, $ s=6 $. From the expression for $ \frac{dV}{dt} $ above, we find that $ \frac{ds}{dt}=5/108 $ when $ s=6 $. Now we can use the expression for $ \frac{dA}{dt} $ to conclude that $ \frac{dA}{dt}=(12)(6)(5/108)$. Simplificar si se desea.
O bien encontrar una relación directa entre $V$ y $h$ . Tenemos $V=r^3$ y $A=6r^2$ Así que $r^2=A/6$ . Desde $r^3=V$ tenemos $r^6=V^2=(A/6)^3$ Así que $216V^2=A^3$ . Diferenciar con respecto a $t$ . Obtenemos $$(216)(2V)\frac{dV}{dt}=3A^2\frac{dA}{dt}.$$ En $V=216$ , $A=216$ . Ahora podemos utilizar la ecuación anterior para hallar $\frac{dA}{dt}$ cuando $V=216$ .
Prefiero la primera forma en que se hizo el problema, pero la segunda encaja mejor en el patrón de "encontrar una relación, luego diferenciar".
Comentario : La descripción detallada de lo que hiciste fue muy útil para localizar los problemas. Estaría muy bien que todo el mundo fuera tan minucioso a la hora de mostrar su trabajo.
