Copo de nieve Koch contra $\pi=4$

Question

La única prueba que pude encontrar de que el copo de nieve de Koch tiene un perímetro infinito fue calculando el perímetro $P_n$ después de la $n$ La tercera iteración $$P_n = 3s\left(\frac{4}{3}\right)^n,$$ donde $s$ es la longitud de cada lado del triángulo equilátero original, y luego tomando el límite como $n$ se acerca al infinito (que obviamente es el infinito).

Estaba satisfecho con esta prueba hasta que recordé la infame "prueba" que $\pi$ es igual a $4$ (véase el enlace más abajo). La longitud de la curva límite (un círculo) es $\pi$ que no es el límite del perímetro de la curva en zig-zag después de la $n$ iteración porque siempre es $4$ . Esta explicación http://qntm.org/trollpi de la prueba falsa afirma que "el límite de una secuencia no tiene por qué compartir ninguna propiedad con los miembros de esa secuencia" y que "hemos visto una secuencia de curvas de longitud 4, cuyo límite no tiene longitud 4".

Entonces, ¿cómo puedo utilizar este argumento para demostrar que el copo de nieve de Koch tiene un perímetro infinito? ¿Alguna de estas derivaciones es incorrecta o es que me he perdido algo?

Answer 1

Esa es una muy buena pregunta.

El perímetro es un concepto bastante extraño. Con los polígonos, todo parece sencillo, pero incluso si quisieras determinar el perímetro del círculo, sea lo que sea, te encuentras con un pequeño problema. Como hizo Arquímedes, podrías intentar aproximar la curva mediante polígonos, pero eso no es muy satisfactorio. Con formas más oscuras no está muy claro hacia dónde nos dirigimos.

Un concepto un poco más fácil es la longitud de arco. ¿Cuál es la longitud de arco de un círculo? Se pueden elegir puntos de una circunferencia. Entonces la longitud del círculo debería ser al menos tan grande como la longitud del polígono resultante, ¿no? Entonces se podría preguntar: Haciendo esto, ¿qué longitud de polígono se podría obtener? Todo funciona bien y el límite superior de las longitudes de arco de los polígonos será $2\pi r$ . ¿Por qué? Bueno, se podría demostrar que esta definición lleva a la definición de integral normal para curvas "bonitas". O hacer alguna aproximación, esencialmente, se trata de $$ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1. $$

Ahora la longitud del arco del copo de nieve de Koch tiene un poco de sentido. ¿Qué longitud de curva poligonal podrías obtener uniendo puntos de la curva? Pues bien, si consideramos los puntos de las esquinas de los iterados del copo de nieve, éstos permanecerán en la curva hasta el final. Así que unir esos puntos será unir puntos en la curva. Dado que la elección de los puntos en $n$ En la primera iteración podemos obtener polígonos arbitrariamente largos, no hay límite superior en la longitud de arco del copo de nieve de Koch, por lo que tiene, en cierto sentido, una longitud de arco infinita.

¿Qué es lo que falla en el $\pi = 4$ ¿prueba? Los puntos no serán fijos como en el copo de nieve, excepto los puntos del círculo. Podríamos unirlos y observar que la longitud de arco de la curva resultante, si existe, es al menos $2\pi r$ . Claro que sí.