Si$T^{*}$ es injective, entonces$T$ es surjective?

Question

Si $T$ es un mapa lineal acotado desde el % de espacio de Hilbert $H_1$el % de espacio de Hilbert $H_2$y $T^{*}$ es inyectiva, entonces sé que $H_2$ es el cierre de la gama de $T$. ¿Pero puedo concluir que $T$ es sobreyectiva? Cualquier sugerencia sería de ayuda. (Lo siento si esto es trivial.)

Answer 1

Considerar $$T:\ell^2\rightarrow\ell^2\T(x_n;\ n\in\mathbb{N}^+)=\left(\frac{x_n}{n};\ n\in\mathbb{N}^+\right)$ $

Observe que $|T|\leq1$, $\left(\frac{1}{n};\ n\in\mathbb{N}^+\right)\notin T(\ell^2)$

$\forall g\in \ell^{2*}\ (g\circ T=0\rightarrow g=0)$ Ya $T(\ell^2)$ contiene una base de Hilbert.

Entonces la respuesta a tu pregunta es no.