Promedio de CDF inversas

Question

Supongamos que tengo dos distribuciones$P$ y$Q$ en la línea que admiten funciones de distribución acumulativa inversa bien definidas$F^{-1}_P$ y$F^{-1}_Q$.

Defino una distribución "promedio"$A$ como la distribución cuya CDF inversa está dada por

ps

¿Es esta distribución$$ F^{-1}_A = (1/2)(F^{-1}_P + F^{-1}_Q) $ bien conocida en algún sentido? ¿Puede esta operación expresarse directamente en términos de$A$ y$P$ sin necesidad de pasar por los CDF inversos?

Answer 1

(Esto no es una respuesta completa.)

Conjetura: La CDF $F_A$ es la CDF de la variable aleatoria $\frac12(X+Y)$, donde la variable aleatoria $X$$P$, la variable aleatoria $Y$ $Q$ y el azar par $(X,Y)$ es máximamente junto (por ejemplo, si $P$ $Q$ son de cuadrado integrable, a continuación, $E(XY)$ es máxima).

Fácil hecho de apoyar la conjetura: La CDF $F_A$ es la CDF de la variable aleatoria $\frac12(F_P^{-1}(U)+F_Q^{-1}(U))$, donde la variable aleatoria $U$ es uniforme en $(0,1)$. Tenga en cuenta que las variables aleatorias $F_P^{-1}(U)$ $F_Q^{-1}(U)$ tienen distribución $P$ $Q$ respectivamente.