¿Qué significa actuar un operador de campo de Dirac en el vacío?

Question

La interpretación habitual de mi QFT cursos es que cuando actúa el escalar operador de campo en el vacío, creamos partícula:

$$ |x\rangle = \phi(x)|0\rangle. $$

Si tengo un multi-componente operador de campo, tales como Dirac spinor campo, ¿qué significa actuar de forma que en el vacío? La Dirac spinor campo se expande en términos de creación/aniquilación de los operadores con spinor valores de los coeficientes de

$$ \psi(x) = \sum_{s=1}^2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg[b^s_pu^s(p)e^{-ip\cdot x}+c_p^{s \dagger}v^s(p)e^{-ip\cdot x} \bigg] $$

donde $u^s(p)$ $v^s(p)$ 4-componente spinors y no a los operadores en un espacio de Hilbert. ¿Qué es $ \psi(x) |0\rangle $ y lo que significa multiplicar un ket vector por un 4-componente de spinor?

Answer 1

De hecho, usted recibirá una colección de cuatro estados. Pero esto tampoco es inusual o sorprendente.

Incluso en el ordinario de la mecánica cuántica, tenemos "operadores vectoriales" como $\mathbf{p} = - i \nabla$, que tiene varios componentes. Cuando un vector operador actúa en un estado cuántico, que produce un vector de tres estados, que formalmente vive en $\mathcal{H} \oplus \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$. En términos de teoría de grupos, si usted comienza con un conjunto de estados con transformar en una tirada $s$ representación de la rotación de grupo, y actuar con $\mathbf{p}$, se obtiene un conjunto de estados de la transformación en la representación $$\text{spin } s \, \otimes \text{spin } 1$$ por el Wigner-Eckart teorema. El hecho de que hay tres componentes es necesario hacer que la teoría del grupo de trabajo. Por ejemplo, si hemos actuado en una vuelta a cero el estado del suelo, se debe llegar a una representación de la vuelta uno, pero necesitamos tres estados para que; son los tres componentes del vector.

Dado que, usted podría preguntarse por qué nunca hablamos de vectores de tres estados en el pregrado de la mecánica cuántica. La respuesta es que el Hamiltoniano es un escalar, entonces el vector índice en $\mathbf{p}$ tiene que ser contratados con algo. Por ejemplo, en el libre Hamiltoniano es $p^2$, mientras que para una interacción con la luz sería $\mathbf{p} \cdot \mathbf{A}$. Explícitamente, tenemos $$\langle \phi | \mathbf{p} \cdot \mathbf{A} | \psi \rangle = \begin{pmatrix} \langle \phi| p_x, & \langle \phi| p_y, & \langle \phi | p_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_x |\psi \rangle \\ A_y |\psi \rangle \\ A_z |\psi \rangle \end{pmatrix} = \sum_i \langle \phi | p_i A_i | \psi \rangle.$$ Este elemento de la matriz esencialmente da la transición de amplitud entre los estados inicial y final mediante la emisión de un fotón en uno de los tres canales.

La Dirac spinor campo aproximadamente hace lo mismo, pero para spin $1/2$. De nuevo, el Hamiltoniano tiene que ser un escalar, por lo que debemos contratar el spinor índices; es por eso que nos concentramos tanto en Dirac bilinears. La cantidad de $\bar{\psi} \psi$ es sólo de forma análoga a $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}$. Cuando nos calcular los diagramas de Feynman, el $\psi$'s de cualquiera de los extremos hasta contratados con un externo spinor, lo que significa que estamos simplemente eligiendo el estado con el correspondiente giro, o terminan contrato con cada otra en un fermión bucle, en cuyo caso tenemos que suma más de las cuatro de las polarizaciones, igual que se suman a lo largo del $i$$p_i A_i$.

Answer 2

Yo no soy una autoridad en esta área y no creo que lo que tengo que decir es particularmente profunda. Sólo un par de pensamientos que tuve al leer tu pregunta.

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En todo lo que sigue me referiré a los campos libres.

El real escalar campo tiene una única representación espacial, porque sólo hay una polarización y una carga, que puede ser visto por la realización de $|\vec{p}\rangle$ únicamente las etiquetas de una partícula de estados (Fourier-la transformación de los da $|\vec{x}\rangle$, con una fase de factor).

El complejo de escalar el campo no tiene una única representación espacial, ya que, aunque sólo hay una polarización, hay dos cargos (que podemos distinguir en la cuantización canónica mediante la introducción de separar los operadores de creación y aniquilación $\hat{a}/\hat{a}^{\dagger}$$\hat{b}/\hat{b}^{\dagger}$). Esto puede ser visto doblemente por de nuevo al darse cuenta de que el correcto partícula de los estados deben también tiene una especie de etiqueta, decir $|\vec{p},\pm\rangle$. La representación espacial también debe llevar una etiqueta, es decir,$|\vec{x},\pm\rangle$.

Usted puede ver cómo esta lógica va a llevar a la spinor caso. Un campo de Dirac tiene dos cargos y, para cada cargo, dos estados de polarización.

Así que cuando usted se pregunte:

"¿qué significa para multiplicar un ket vector por un 4-componente de spinor?"

esto significa que usted conseguirá un componente de cuatro objeto en la final, a saber:

$$\begin{align} \psi(x)|0\rangle&=\sum_{s=1}^2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg[\require{cancel}\cancel{(b^s_p|0\rangle)}u^s(p)e^{-ip\cdot x}+(c_p^{s \dagger}|0\rangle)v^s(p)e^{-ip\cdot x} \bigg]\\ &=\sum_{s=1}^2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg[v^s(p)e^{-ip\cdot x} \bigg]|\vec{p},s,+\rangle \\ \end{align}$$

y ahora usted puede pedir su proyección en $|\vec{x},s,+\rangle$ o menos útil, pero más decididamente $|\vec{x},i\rangle$ donde $i$ es uno de los componentes de la Dirac campo, etc.. Cómo estos estados y sus proyecciones a lo largo de $|\vec{p},s,\pm\rangle$ son definidas realmente, no lo sé, pero estoy seguro de que alguien aquí. Sin embargo, se puede ver que necesitamos para incorporar los diferentes polarizaciones y cargos de $(s,\pm)$ en nuestras definiciones de estado-proyecciones, en contraste con el real escalar campo donde teníamos:

$$<\vec{x}|\vec{k}>=e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}$$

Si tuviera que adivinar, de forma coherente, para definir $\langle \vec{x},s',r'|\vec{p},s,r\rangle$, sería simplemente:

$$\langle \vec{x},s',r'|\vec{p},s,r\rangle=\delta_{s,s'}\delta_{r,r'} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}$$