Además de $3x - 1$ , $5x + 1$ que las variantes de la $3x + 1$ problema se ha demostrado de forma concluyente en un sentido o en otro?

Question

Hace meses, pregunté En el $x + 1$ problema, ¿todo entero positivo $x$ finalmente llegar a $1$ ? Creo que es bastante fácil adaptar los argumentos dados en las respuestas a esa para demostrar que $x - 1$ siempre alcanza $1$ también.

También se sabe que $3x - 1$ , $5x - 1$ y $5x + 1$ todos han encontrado fácilmente ciclos que no incluyen $1$ . Creo que también encontré ciclos para $7x + 1$ pero parece que he extraviado el cuaderno correspondiente.

Mi pregunta hoy es: ¿qué otras variantes de $3x + 1$ han sido estudiados y se ha demostrado que siempre o no alcanzan $1$ ? ¿Y hay algún documento o libro que reúna gran parte de la investigación disponible sobre las variantes?

Answer 1

Escriba $$ b = { m \cdot a + 1 \over 2^A} $$ para una transformación con multiplicador impar $m$ e impar $a \to b$ .
Entonces hay para todos $m=2^M-1$ el ciclo trivial $1 \to 1$ y para todos $m=2^M+1$ el ciclo trivial $-1 \to -1$
Además de los ciclos a los que te refieres, en la literatura también se conoce el ciclo con $m=181$ en $a=27$ , $b=611$ (creo) y encontré una segunda en $a=35$ .
No encontré ningún ciclo más, ni numéricamente con pruebas hasta $m$ algunos miles y el ciclo proyectado se alarga hasta unos 100. Tampoco encontré algo más en la literatura. (Por cierto, ¿no debería estar todo esto en una sección del artículo Collatz de wikipedia bajo "generalización"? Curioso - Voy a ver más tarde, estoy en un día de fiesta)
Obsérvese que, si se permite un $m$ encontramos dos más $m$ permitiendo pequeños ciclos, pero no tenerlo a mano, ver algunos de mis preguntas/respuestas recientes sobre el problema de Collatz.

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Actualización Inspirado en el hallazgo de un artículo arxiv vinculado por algunas preguntas y respuestas recientes sobre los ciclos en un $7x \pm 1$ - problema, definido por $$ f(n) = \left \lbrace \begin{matrix} n/2 & \text{if $ n $ is even} \\ 7n +1& \text{if } n \equiv 1 \pmod 4) \\ 7n -1& \text{if } n \equiv 3 \pmod 4) \\ \end{matrix}\right.$$
$ \qquad $ que también puede reescribirse como $ b = { 7 \cdot a + (2 - a \% 4) \over 2^A} $ para una transformación en la que el $\%$ -denota la función de residuo con módulo $4$ (a menudo llamado mod en los lenguajes de programación) miré las generalizaciones obvias con $m=\{3,5,7,9,11,13,15,17,19\}$ (por supuesto con la adaptación significativa del $a \% 4$ -) y se encontraron los siguientes ciclos probando números pequeños:

 m      cycles, (?likely) divergences    
 ----+------------------------------------------
 3      1,1,...    
 5      1,1,...   
           7,9,11,7,...   
 7      1,1,...       
 9      1,1,...     
           13, 29, 65, 73, 41, 23, 13, ...  
           (? divergences...)
11      1,3,1,... 
           (?divergences)
13      1,3,5,1,...    
           25, 81, 263, 855, 2779, 1129, 3669, 2981, 1211, 123, 25, ...
           49, 159, 517, 105, 341, 277, 225, 731, 297, 965, 49 ,...    
           (?divergences)
15      1,1,... 
           (?divergences)           
17      1,1,...   
           (?divergences)           
19         (?divergences)      
181      27,611,27,... 
           35,99,35, ...
           (?divergences)

Todos los ciclos encontrados tienen homólogos exactos en los números negativos.