Cómo encontrar el valor de la $x+y$

Question

Pregunta:

deje $x,y\in \Bbb R $, y tal $$\begin{cases} 3x^3+4y^3=7\\ 4x^4+3y^4=16 \end{casos}$$

Encontrar el $x+y$

Este problema es de china algunos BBS

Mi idea: ya que $$(3x^3+4y^3)(4x^4+3y^4)=12(x^7+y^7)+x^3y^3(9y+16x)=112$$ $$(3x^3+4y^3)^2+(4x^4+3y^4)^2=9(x^6+y^8)+16(y^6+x^8)+24x^3y^3(1+xy)=305$$

entonces no se puede Continuar

Answer 1

Suponiendo que la cuestión está escrita correctamente, como se muestra, hay dos únicas soluciones reales. Vamos $$\begin{align*} u(z) &= -983749-111132z^3+786432z^4+71442z^6-196608z^8-20412z^9+18571z^{12}, \\ v(z) &= -178112-351232z^3+186624z^4+301056z^6-34992z^8-114688z^9+18571z^{12}. \end{align*}$$ These polynomials have exactly two distinct real roots; let $r(u,+)$, $r(u,-)$ be the positive and negative real roots of $u$, and $r(v,+)$, $r(v,-)$ be the positive and negative real roots of $v$, respectively. Then $$(x,y) \in \{(r(u,-),r(v,+)), (r(u,+),r(v,-))\}$$ are the desired solutions. The sum $x+y$ can then be expressed by the solution to a third polynomial $$f(z) = 819447-537600z-8998752z^3+3291428z^3+22132992z^4-17875200z^5+3163146z^6+1042512z^8-437500z^9+18571z^{12},$$ para que nuevamente hay dos raíces reales, ambos positivos. Todos estos polinomios son irreducibles. Así que dudo que este es un problema que puede ser razonablemente resuelto por la mano.

Answer 2

Aquí viene un dibujo de un creíble (Delphi Pascal) fuente (-:

Viewport:

 xmin := -4; xmax := +4;
 ymin := -4; ymax := +4;

La asignación de Color: $$ \begin{cases} \color{red}{3x^3+4y^3=7}\\ \color{green}{4x^4+3y^4=16} \end{casos} $$ Espero que esto ayude. (Ahora pensando en el resto ..)

EDIT. Un parámetro de la representación de la curva de $\;3x^3+4y^3=7\;$ es: $$ x(t) = -\sqrt[3]{\frac{t}{3}} \qquad ; \qquad y(t) = \sqrt[3]{\frac{t+7}{4}} $$ Esto convierte el problema en la búsqueda de ceros de una función unidimensional: $$ f(t) = 4 x^4(t) + 3 y^4(t) - 16 $$ Estándar de métodos numéricos puede ser usada para este propósito. Newton-Raphsony Regula Falsi han tenido éxito aquí. Nuestro (doble precisión) de los resultados son: $$ t = 3.56874527617414 \quad \Longrightarrow \quad (x,y) = ( -1.05957433921527 , +1.38246606572819 ) \\ t = -8.23503156460535 \quad \Longrightarrow \quad (x,y) = ( +1.40017183631184 , -0.675884813969605 ) $$ Dar, respectivamente: $$ x+y = 0.322891726512912 \\ x+y = 0.724287022342236 $$ ALGORITMO (Delphi Pascal) :

programa de RF;

tipo de
 funktie = function(t : doble) : doble;

función regula_falsi(d1,d0,eps : doble; F : funktie) : doble;
{
 Regula Falsi
}
var
 OK : boolean;
 d2 : doble;
comenzar
 d2 := d0;
 mientras abs(F(d2)) > eps hacer
comenzar
 d2 := d1 F(d1)*(d0 - d1)/(F(d0) - F(d1));
 si F(d2) = 0 then Break;
 OK := (F(d2)*F(d1) < 0);
 si no, a continuación, OK
comenzar
 d1 := d2;
 end else begin
 d0 := d1; d1 := d2;
end;
 Escribir(d2,' : ',F(d2),' ; Pulse Enter'); Readln;
end;
 regula_falsi := d2;
end;

función de la potencia(x,r : doble) : doble;
var
 M : doble;
comenzar
 M := 0;
 si x > 0 entonces
 M := exp(r*ln(abs(x)));
 si x < 0 entonces
 M := -exp(r*ln(abs(x)));
 potencia := M;
end;

la función original(t : doble) : doble;
{
 La función en sí
}
var
 x,y,f : doble;
comenzar
 x : = potencia(t/3,1/3);
 y := potencia((t+7)/4,1/3);
 f := 4*sqr(sqr(x))+3*sqr(sqr(y))-16;
 original := f
end;

procedimiento de Calcular(x1,x2 : double);
const
 eps : double = 1.E-14;
var
 t,x,y,t1,t2 : doble;
comenzar
 t1 := 3*sqr(x1)*x1;
 t2 := 3*sqr(x2)*x2;
 t := Regula_Falsi(t1,t2,eps,original);
Writeln(t);
 x : = potencia(t/3,1/3);
 y := potencia(t/4+7/4,1/3);
 Writeln(x,' +',y,' =',x+y); 
end;

comenzar
 Calcular( 1.0, 1.5);
Writeln;
Calcular(-1.5,-0.5);
final.

Tenga en cuenta que el único lugar que es realmente dependiente de la máquina es el criterio de parada con 'eps'. Como para el resto, el algoritmo es bastante general. También tome nota de la más cruda a partir de los valores de $(1.0,1.5)$ $(-1.5,-0.5)$ $x$ al final del código, haciendo hincapié en la solidez de este algoritmo.

Answer 3

La definición de $z:= x+y$, las ecuaciones son $$\begin{cases} 3x^3+4(z-x)^3=\phantom{1}7\\ 4x^4+3(z-x)^4=16 \end{casos}$$

Utilizando el método de los resultantes (que podría ser hecho "a mano", pero he usado Mathematica porque la vida es demasiado corta) para eliminar la $x$, confirmamos @heropup del resultado:

$$\begin{align} 0 &= 819447 - 537600 z - 8998752 z^2 + 3291428 z^3 + 22132992 z^4 \\ &- 17875200 z^5 + 3163146 z^6 + 1042512 z^8 - 437500 z^9 + 18571 z^{12} \quad (\star) \end{align}$$

La solución de una irreductible $12$th-ecuación de grado del polinomio es difícil en el mejor. De nuevo el uso de Mathematica, los dos raíces reales de $(\star)$ se encuentran $$z=0.322892\dots \quad\text{and}\quad z=0.724287\dots$$

Si nos resumen las ecuaciones como este ... $$\begin{cases} a_1 x^3 + b_1 (z-x)^3=c_1\\ a_2 x^4 + b_2 (z-x)^4=c_2 \end{casos}$$ ... luego de la correspondiente resultante es ... $$\begin{align}0 &= c_1^4\;(a_2 + b_2)^3 - c_2^3\;(a_1 - b_1)^4 \\ &- 12 z \; (a_1 - b_1)^2 \; (a_1 b_2 + a_2 b_1)\; c_1 c_2^2 \\ &+ \cdots \\ &- 24 z^5\;(a_1 b_2 + a_2 b_1) \; (a_1 a_2 b_1 + 2 a_2 b_1^2 + 2 a_1^2 b_2 + a_1 b_1 b_2) \; c_1 c_2 \\ &+ \cdots \\ &- 4 z^9 \; ( a_1 b_2 + a_2 b_1)^3 \;c_1 \\ &+ z^{12}\; ( a_1^4 b_2^3 + a_2^3 b_1^4 ) \end{align}$$

Observaciones:

• Un número de coeficientes de desaparecer bajo el supuesto de $a_1 b_2 + a_2 b_1 = 0$, aunque esto realmente no ayuda mucho, porque el polinomio sigue siendo irreductible todavía y el grado $12$.

• Se puede reducir el grado de $9$ con la relación $a_1^4 b_2^3 + a_2^3 b_1^4 = 0$, pero que también no es particularmente útil.

• Podemos eliminar el término constante si $c_1 = |a_1 - b_1| c^3$ $c_2 = (a_2 + b_2) c^4$ algunos $c$. En el problema original, con $a_1 = b_2 = 3$$b_1 = a_2 = 4$, esto le da a $c_1 = c^3$$c_2 = 7 c^4$. Si $b_2$ tenía un signo de cambio de a$-3$,$c_1 = c^3$$c_2 = c^4$, que para $c=2$, dar $8$ $16$ ... casi el $7$ $16$ del problema original. Aún así, el polinomio de $(\star)$ sólo se reduce a $11$th grado.

Si hay algo notable acerca de las soluciones a este problema, que no estoy viendo.

Answer 4

Otra idea para que usted pueda pensar. Tenemos:

$$\begin{cases} 3x^3+4y^3=7 \\ 4x^4+3y^4=16 \end{casos}$$

Rompen como:

$$\begin{cases} 3x^3+3y^3 + y^3=7 \\ x^4 + 3x^4+3y^4=16 \end{casos}$$

y el factor:

$$\begin{cases} 3(x+y)(x^2 - xy + y^2)=7 - y^3\\ 3(x+y)(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3)=16 - x^4 \end{casos}$$

Y así: $$x+y = \frac{1}{3}\frac{7 - y^3}{x^2 - xy + y^2} = \frac{1}{3}\frac{(2-x)(8+4x+2x^2+x^3)}{x^3 - x^2y + xy^2 - y^3}$$