¿Qué valores para $x$ hacer $x(x + 180)$ ¿un cuadrado?

Question

¿Qué valores para $x$ hacer $x(x + 180)$ ¿un cuadrado?

$x = 12, 16, 60$ son algunos valores. Entonces, tal vez resolver $x(x + 180) = y^2 $ ¿daría otros valores? Intenté usar la fórmula general, pero eso sólo daría 2 valores cada vez que encuentro un $y$ no todos los valores. Y estoy atascado en el proceso:

$x(x + 180) = y^2 \Rightarrow x^2 + 180x - y^2 = 0.$

$x = \frac{-180 \pm \sqrt{180^2 +4y^2}}{2} = \frac{-180 \pm \sqrt{8100 +y^2}}{2}$ Y entonces creo que debo encontrar una suma de cuadrados que sea un cuadrado, y que dé un positivo $x.$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$y^2=x(x+180)=(x+90-90)(x+90+90)=(x+90)^2-90^2$$ y luego $$90^2=(x+90)^2-y^2=(x+90+y)(x+90-y) $$ Como los factores de la derecha tienen la misma paridad (difieren en $2y$ ) y la izquierda es par, buscamos factorizaciones de $90^2$ en factores pares. Cualquier factorización de este tipo $90^2=(2u)(2v)$ (o simplemente $45^2=uv$ ) con wlog $u\ge v$ conduce a una solución válida $y=u-v$ y $x=u+v-90$ . (No se olvide de permitir que el $u,v$ )

Answer 2

Una pista:

Si una ecuación cuadrática con coeficientes enteros tiene una raíz entera, su discriminante debe ser un cuadrado perfecto. Así que

$$ 8100 +y^2 = z^2$$ para algún entero no negativo $z$ .

Answer 3

Así que tienes que encontrar $y$ para que $180^2 + 4y^2$ es un cuadrado perfecto

O $90^2 + y^2=k^2$ es un cuadrado perfecto.

Esto significa que $90^2 = k^2 - y^2 = (k-y)(k+y)$ y que podemos resolver factorizando $90^2 = 2^2*3^4*5^2$ .

Hay muchas maneras de factorizar. La única restricción es que ambos $k-y$ y $k+y$ deben ser ambos pares.

Así que resuelve $k - y = 2*3^b5^c$ y $k + y = 2*3^{4-b}5^{2-c}$ . $k-y < k+y$

Así que $k - y = 2; 6; 18; 54; 50; 10; 30; 90; $

Y $k+ y = 4050; 1350; 450; 150; 162; 810; 270; 90$

Y $(k,y) = (2026, 2024), (678, 672),(234,216),(102,48),(106,56), (410,400), (150,120),(90,0)$

Y $\sqrt{180^2 + 4y^2}= 2k = 4052,1356, 468, 204,212,820,300,180$

Y $x = \frac {-180 \pm \sqrt{180^2 + 4y^2}}2 = $

$1936, 588, 144, 12, 16, 320, 60, 0$ si $x \ge 0$

Si $x < 0$ entonces $x = -2116, -768, -324, -192, -196, -500, -240, - 180$ .