¿Cómo una función de densidad de probabilidad evoluciona con el tiempo?

Question

Que $f(x,t)$ sea una función de densidad de probabilidad del proceso estocástico $X_t$, donde $X_t$ evoluciona con el tiempo determinista según la siguiente Oda

$$\dot x = g(x,t)$$

Entonces, ¿cómo cambia con el tiempo $f(x)$? ¿Cómo encontrar $\frac{df}{dt}$?

Por ejemplo, decir $X_t$ es la altura de un árbol en tiempo $t$. Altura del árbol se distribuye según $f(x,t)$ en un momento dado. Cada árbol crece según $\frac{dX_t}{dt}=g(X_t,t)$. Entonces ¿qué es $\frac{df}{dt}$?

Answer 1

Esta es una muy sucio derivación. Sería bueno tener un riguroso uno.

Aquí va uno. Para cada $t$ y regular de la función $u$ va a cero en el infinito, por definición de la PDF de $X_t$,

$$E(u(X_t)) = \int_\mathbb R u(x)f(x,t)dx$$

La diferenciación bajo la expectativa de signo, esto produce

$$\int_\mathbb R u(x)\partial_tf(x,t)dx=\frac{d}{dt}E(u(X_t)) = E(u'(X_t)g(X_t,t)) = \int_\mathbb R u'(x)g(x,t)f(x,t)dx$$

Ahora, integrando por partes y con el hecho de que $u$ es igual a cero en el infinito, el último término es

$$\int_\mathbb R u'(x)g(x,t)f(x,t)dx = -\int_\mathbb R u(x)\partial_x(g(x,t)f(x,t))dx$$

En suma, la identidad

$$\int_\mathbb R u(x) \partial_t f(x,t) dx = -\int_\mathbb R u(x)\partial_x(g(x,t)f(x,t))dx$$

para cada admisible en función de la prueba de $u$, por lo tanto, la identificación, $$\partial_t f(x,t) = -\partial_x(g(x,t)f(x,t))$$

Answer 2

Por definición, la probabilidad de masa en el intervalo de $[x, x + \mathrm d x]$ tiempo $t$ es igual a $f (x,t) \,\mathrm d x$. Bajo la influencia de la ecuación diferencial $\dot x = g (x,t)$, los extremos del intervalo de flujo de

$$\begin{aligned} x &\mapsto x + g (x,t) \,\mathrm d t\\ x + \mathrm d x &\mapsto x + \mathrm d x + g (x + \mathrm d x,t) \,\mathrm d t = x + \mathrm d x + g (x,t) \,\mathrm d t + \partial_x g (x,t) \,\mathrm d x \,\mathrm d t\end{aligned}$$

Por lo tanto, el intervalo de $[x, x + \mathrm d x]$ es asignado a un intervalo de ancho

$$\mathrm d x + \partial_x g (x,t) \,\mathrm d x \,\mathrm d t = \left( 1 + \partial_x g (x,t) \,\mathrm d t \right) \mathrm d x$$

Dado que la probabilidad de masa se conserva,

$$f (x,t) \,\mathrm d x = f (x + g (x,t) \,\mathrm d t, t + \mathrm d t) \, \left( 1 + \partial_x g (x,t) \,\mathrm d t \right) \mathrm d x$$

Dividir ambos lados por $\mathrm d x$, obtenemos

$$\begin{aligned} f (x,t) &= f (x + g (x,t) \,\mathrm d t, t + \mathrm d t) \, \left( 1 + \partial_x g (x,t) \,\mathrm d t \right)\\ &= \left( f (x,t) + \partial_x f (x,t) \, g (x,t) \,\mathrm d t + \partial_t f (x,t) \,\mathrm d t \right) \, \left( 1 + \partial_x g (x,t) \,\mathrm d t \right)\\ &= f (x,t) + \partial_x f (x,t) \, g (x,t) \,\mathrm d t + \partial_t f (x,t) \,\mathrm d t + f (x,t) \, \partial_x g (x,t) \,\mathrm d t \end{aligned}$$

donde los dos términos de la multiplicación de $\left( \mathrm d t \right)^2 := 0$ fueron descartados. Por lo tanto,

$$\partial_x \, f (x,t) \, g (x,t) + \partial_t \, f (x,t) + f (x,t) \, \partial_x g (x,t) = 0$$

o, usando la derivada del producto, se obtiene un Fokker-Planck de la PDE

$$\color{blue}{\partial_t \, f + \partial_x \left( f \cdot g\right) = 0}$$

Esta es una muy sucio derivación. Sería bueno tener un riguroso uno.