¿Cómo solucionarlo?

Question

Durante mi reciente trabajo me encontré con un extraño tipo de ecuación diferencial que contiene factores escalares. Con el fin de comprenderlas mejor pensé tendría sentido mirar un ejemplo más simple como:

$$ \dot x(t) = x(2t)$$

¿Cómo uno resuelve esta ecuación? ¿Incluso tiene una solución? Parece un poco relacionada a ecuaciones diferenciales funcionales que no conozco.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: no es una respuesta completa, pero el desarrollo de una idea. Animo a cualquier persona que quiera modificar y complementar esta respuesta. Además, yo no tengo experiencia con el funcionamiento de ecuaciones diferenciales.

Suponiendo que nuestra solución es una función analítica de $t$, que se escribe como una potencia de la serie $$ x(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n. $$ Sustituyendo en la ecuación, obtenemos $$ \sum_{n=1}^\infty n a_n t^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_n 2^n^n, $$ entonces, el cambio en el índice, $$ \sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1} t^{n} = \sum_{n=0}^\infty a_n 2^n^n, $$ que nos conducen a la siguiente relación de recurrencia: $$ a_{n+1} = \frac{2^n}{n+1} a_n. $$

Como se ha señalado por Alex R. y martin cohen, no hay solución analítica de la ecuación distinta de la trivial, (según lo sugerido por Hans Engler).

Answer 2

Continuando con la respuesta de rafa11111, si \dfrac{a_{n+1}}{a_n #% y $%#%} = \dfrac{2^n}{n+1} $ para

$\begin{array}{} am &=& \Big(\prod\limits{n=0}^{m-1} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big)\,a0 &=& \Big(\prod\limits{n=0}^{m-1} \dfrac{2^n}{n+1}\Big)\,a_0 &=& \dfrac{2^{m(m-1)/2}}{m!}\,a0 &=& \dfrac{2^{T{m-1}}}{m!}\,a_0 \end{matriz} $

Donde $a_{n+1} = \frac{2^n}{n+1} a_n$ es el número de $T_m$-ésimo triángulo. Esto, así como el uso evidente de la prueba de proporción, muestra que la serie de potencias no converge para cualquier $m$.

Answer 3

Siguiendo la sugerencia de Ivan Neretin, he utilizado la idea de esta respuesta a una pregunta similar: Problemas funcionales de la ecuación diferencial $f'(x)=2f(2x)-f(x)$

Voy a resolver la más genérica de la ecuación de $\dot{x} = x(at)$. Como se señalaba en Hyperplane, voy a utilizar la siguiente serie: $$ x = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp (-a^n t). $$ Por lo tanto, $$ \dot{x} = -\sum_{n=-\infty}^\infty c_n a^n \exp (-a^n t), $$ $$ x(a) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp (-a^{n+1} t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_{n-1} \exp (-a^n t). $$ A continuación, conectar en la ecuación, obtenemos $$ -\sum_{n=-\infty}^\infty c_n a^n \exp (-a^n t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_{n-1} \exp (-a^n t), $$ que requiere $$ \frac{c_n}{c_{n-1}} = -\frac{1}{a^n}. $$ La solución de este recurrencia relación con una "condición inicial" $c_0 = A$, obtenemos $$ c_m = A \prod_{n=0}^m \frac{c_n}{c_{n-1}} = \prod_{n=0}^m -\frac{1}{a^n} = \frac{(-1)^m}{a^{m(m+1)/2}} A. $$ (Ver que $m(m+1)/2$ es el m-ésimo número triangular). Por lo tanto, nuestra solución es $$ x = a \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{a^{n(n+1)/2}} \exp (-a^n t), $$ que uno puede comprobar fácilmente para satisfacer la ecuación. Ya que es una corriente alterna de la serie, podemos aplicar la Leibiniz criterio. El cociente entre dos términos consecutivos es $a^{n+1} \exp(a^n(a-1)t)>1 \ \forall a>1$. Por lo tanto, la serie converge para $a>1$.

Para obtener el valor de $x(0)$ uno debe dividir la serie: $$ x(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{a^{n(n+1)/2}} + \sum_{n=-1}^{-\infty} \frac{(-1)^n}{a^{n(n+1)/2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{a^{n(n+1)/2}} + \sum_{n=0}^{-\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{a^{(n-1)n/2}} = $$ $$ Un \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{a^{n(n+1)/2}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{a^{-n (n-1)/2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{a^{n(n+1)/2}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{a^{n(n+1)/2}} = 0. $$

Es interesante ver el comportamiento de los derivados de esta función. Sabemos que $\dot{x} = x(at)$. La diferenciación, hemos $$ \ddot{x} = \frac{d}{dt} x(a) = \frac{d(a)}{dt} \frac{d}{d(a)} x(a) = a \dot{x}(a) = a x(a^2 t), $$ $$ \dddot{x} = \frac{d}{dt} a x(a^2 t) = \frac{d(a^2)}{dt} \frac{d}{d(a^2)} x(a^2t) = a^3 \dot{x}(a^2t) = a^3 x(a^3 t), $$ o, en general, $$ x^{(n)} = a^{n(n-1)/2} x(a^n), $$ que puede ser readly demostrado por inducción. Por lo tanto, es fácil ver que $x^{(n)}(0) = 0$ todos los $n$, es decir, mostrando que la solución es no-analíticos en $t=0$. Aquí está la gráfica de la solución para $a=2$$A=1$.

Y aquí es un gráfico comparando $\dot{x}(t)$$x(2t)$. Este gráfico es áspero en el propósito de permitir una fácil distinción entre ambas curvas. Para un diluyente de la resolución, la coincidencia es perfecta.

También traté de resolver la ecuación numéricamente usando un simple esquema de diferencias finitas. Definir el dominio como $t \in (0,T)$ y de la discretización en $N$ puntos equidistantes, la ecuación para el punto de $i$ es $$ x_{i+1} - x_i - hx_{[ai]} = 0, $$ en que $h$ es el tamaño de paso, y $[ai]$ indica que el resultado de $a\cdot i$ debe redondearse al entero más cercano. Este método tiene una deficiencia grave debido a que la solución sólo tendrá significado matemático en el intervalo de $t\in (0,T/a^2)$. Esto debido a que las diferencias finitas de la ecuación se puede aplicar sólo en el intervalo de $t\in (0,T/a)$ $x_{[ai]}$ sería indefinido para $t>T/a$. Por lo tanto, la ecuación de $t>T/a$ no va a representar la ecuación original y será sólo un "marcador de posición". Sin embargo, la falsa solución en la región de $T/a<t<T$ causa un efecto en el resto del dominio, específicamente en la región de $T/a^2<t<T/a$. Por lo tanto, la solución sólo se mantiene para $0<t<T/a^2$ y es espurio por $T/a^2<t<T$.

Para numérica de los efectos, de la matriz $A_{ij}$ se define como $A_{ij} = A^1_{ij} + A^2_{ij}$, siendo $$ Un^1_{ij} = \begin{cases} 1, & i+1=j \\ -1, & i=j \\ \end{casos}, \ \ \ Un^2_{ij}=\begin{cases} -h, & [ai]=j \\ 0, & \mathrm{otherwise} \\ \end{casos}. $$

Como la última línea de $A^1_{ij}$ es indefinido, que puede ser utilizado para proporcionar el "límite" de la condición. Es importante notar que todas las soluciones son iguales hasta un multiplicativo constante. Por lo tanto, la solución puede ser obtenida por $$ x_i = (A_{ij})^{-1} B_j, $$ en que $B_j = 0$ todos los $j$, a excepción de la posición en la que la condición fue impuesta. Aquí es una solución numérica obtenida para $a=2$, $h = 4\times 10^{-2}$ y $T=160$:

Ambas soluciones fueron "normalizado" para permitir una mejor comparación. Hay un buen acuerdo entre las soluciones. Es interesante ver que la solución numérica no satisface $x(0) = 0$, aproximadamente. También es importante que el dominio será lo suficientemente grande como para que el más relevante de las oscilaciones que se contenía en la región de $0<t<T/a^2$. El tamaño del dominio, es más importante la precisión de la solución que el tamaño del paso.

Para $1\leq a\leq 1$ el poder de la serie de solución, $$ x = a\sum_{n=0}^\infty \frac{a^{n(n-1)/2}}{n!} t^n, $$ converge. Para $a=0$ la solución degenera a$x=kt$$a=1$, $x = k \exp t$ $a=-1$ $x=k\sin (t+\pi/4)$(creo que este es uno bastante sorprendente!). Soluciones para valores intermedios de $a$ se muestra en el gráfico: