Algunos bonito teorema para encontrar el valor de la serie

Question

Conozco a un montón de técnicas para mostrar que una serie convergen o divergen (prueba de condensación de Cauchy, Abel de la prueba, en comparación con un integrale, a raíz de la prueba, la prueba de razón...).

Por otro lado yo no sé nada acerca de caculating el valor de una serie. Es allí cualquier teoremas que pueden ayudar ?

A partir de ahora sé lo siguiente :

• integrale prueba se puede combinar con el teorema del sándwich
• geométrica de la serie

Por ejemplo, en este [Cómo demostrar a $\lim \limits_{x \to 1^-} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^nx^{n²} = \frac{1}{2} \ $? no estamos hablando :

• Herglotz' truco

• Weierstrass productos.

• ...

Así que me gustaría saber si hay algunas otras buenas teorema o mancha técnicas para encontrar el valor de una serie.

Gracias !

Answer 1

En este sentido, la serie se parecen mucho a las integrales: se necesita conocimiento y, aún más, el ingenio y la experiencia.

Algunos Teoremas fundamentales, además de las que se citan, son:
- Indefinido Suma;
- Sumación por partes; - (Discreto) De Convolución;
- Parcial Fracciones De Descomposición;
- Binomio de Transformar y otros;
- Gosper del Algoritmo y de la Función Hipergeométrica;
- Abel Teorema del Binomio
y muchos otros

Answer 2

No sé si este es un buen enfoque y si usted mencionó esto, pero sería otro posible enfoque que he publicado en los enlaces de esta pregunta.

Considere la posibilidad de

$$ F(y+1)-F(y) = e^{i\pi y} x^{y^2} = e^{i \pi y-ay^2} = f, $$

Tomar la transformada de fourier de esta y resolver ej. $$ \hat F(s) = \frac{\hat f(s)}{e^{es} - 1} $$ Tenga en cuenta que $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} F(i+1)-F(i) = - F(0) = \lim_{n \to \infty} F(n+1) - c \int \mathcal{F}(f)(s)\,ds = - c \int \mathcal{F}(f)(s)\,ds, $$ under the assumption $\lim_{n\to\infty} F(n+1) = 0$

Para el ejemplo anterior resulta que la transformada de fourier se convierte en un delta medida que nos acercamos a $x\to 1$ y este puede ser un enfoque que es fácil de entender y llevar a la convergencia de prueba y límite de cálculo.