Está implicada la asociatividad por commutativity

Question

Definitivamente me siento como un idiota por el hecho de que tengo que hacerle la siguiente pregunta, pero de todos modos yo no sé ninguna otra opción.
Si tan sólo el resultado de dos cosas que son opuestos el uno del otro, así que al menos uno de mis pruebas han de estar equivocado.
Traté de resolver el siguiente problema:

Definición: $a \boxplus b = 2a+2b$. $\boxplus$ es conmutativa.
Es $\boxplus$ assosiativ?

Por lo que he encontrado dos maneras de resolver el problema:
1. por definición
Queremos mostrar a $(a \boxplus b) \boxplus c = a \boxplus (b \boxplus c)$.
$(a \boxplus b) \boxplus c = (2a+2b)*2+2c = 4a+4b+2c.$
Y en el otro lado $a \boxplus (b \boxplus c) = 2a+2(2b+2c)= 2a+4b+4c$
$4a+4b+2c \neq 2a+4b+4c$. Por lo $\boxplus$ no es assosiative.

2. Muestran que la conmutatividad asociatividad implica
Queremos a prueba $ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ [$\circ$ será conmutativa]
$ (a \circ b) \circ c = a \circ b \circ c = b \circ \circ c = b \circ c \circ a = (b \circ c) \circ una. $

Sé que mi error tiene que parecer estúpido y obvio, pero no puedo ver donde me equivoco.
Gracias a todos por ayudarme!

Answer 1

En su segunda forma de resolver el problema, puede escribir la expresión de la $a\circ b\circ c$ que no está definido.

---

Solo solemos definir $a\circ b\circ c$ si ya sabemos que $\circ$ es asociativa, en cuyo caso se puede acortar $(a\circ b)\circ c$ e $a\circ(b\circ c)$ a, simplemente, $a\circ b\circ c$ porque ya sabemos que ambas expresiones son iguales. Si no sabemos de que, a continuación, la expresión $a\circ b\circ c$ aún no está definido, porque podría significar uno o el otro, y no hay ninguna garantía de que son el mismo.

Ciertamente, podemos definir a la $a\circ b\circ c$ a la media de $a\circ(b\circ c)$, pero si se puede definir así, entonces su afirmación de que

$$a\circ b\circ c = b\circ a \circ c$$

se convierte (utilizando la definición) la afirmación de que

$$a\circ(b\circ c) = b\circ(a\circ c)$$

que no es un reclamo que puede ser probado por simplemente alegando conmutatividad.

---

Del mismo modo, si usted defina $a\circ b\circ c=(a\circ b)\circ c$, tendrá un problema, porque entonces usted realmente puede reclamar que $$a\circ b\circ c= (a\circ b)\circ c=(b\circ a)\circ c=b\circ a\circ c$$ pero entonces la reclamación

$$b\circ a\circ c=b\circ c\circ a$$

es equivalente a

$$(b\circ a)\circ c = (b\circ c)\circ a$$

que a su vez puede no ser probado usinc conmutatividad solo.

Answer 2

Su primera prueba es correcto, excepto el hecho de que escriba "$=2c$" (dos veces) en vez de "$+2c$".

La otra prueba es equivocada desde el principio. El $a\circ b\circ c$ de la expresión es ambiguo si no asumes la asociatividad. Una operación conmutativa no tiene que ser sociable.

Answer 3

Utiliza la propiedad asociativa en la prueba. $$(a \circ b) \circ c = a \circ b \circ c = b \circ a \circ c = b \circ c \circ a = (b \circ c) \circ a.$$

Sin asociatividad el $$a \circ b \circ c $ $ simplemente no tiene sentido.