Tengo que comprobar que las soluciones racionales de $x^3+y^3+z^3=1$ se dan por dar racionales valores de a $(s,t)$ en las fórmulas:
$$x(s,t)=\frac{3t-\frac{1}{3}(s^2+st+t^2)^2}{t(s^2+st+t^2)-3}$$
$$y(s,t)=\frac{3s+3t+\frac{1}{3}(s^2+st+t^2)^2}{t(s^2+st+t^2)-3}$$
$$z(s,t)=\frac{-3-(s^2+st+t^2)(s+t)}{t(s^2+st+t^2)-3}$$
Después de algún trabajo sucio, puedo ver que estas expresiones para $x,y,z$ satisfacer la ecuación de $x^3+y^3+z^3=1$, pero todavía tengo que ver que todas las soluciones racionales son de la forma, y no sé cómo acercarse a este (es necesario, porque hay otras soluciones que no puede ser expresado como el anterior, y, a continuación, estas fórmulas no sería una solución completa).
Previamente a esto, he encontrado las expresiones explícitas para las soluciones racionales de $x^2+y^2+z^2=1$ y el más general de la ecuación de $x_1^2+...+x_n^2=1$, tanto a través de la proyección estereográfica. He tratado de hacer algo similar con la ecuación cúbica, pero no parece funcionar. Traté de transformar a la forma $x^3+y^3+z^3=t^3$ y encontrar el entero soluciones para esto, pero no pude y me cuesta encontrar información sobre ella en internet, y el poco que he encontrado no coincide con el de la familia de soluciones con el que estoy trabajando (que es el que me interesa)
Yo realmente no saben cómo acercarse a este, así que agradecería cualquier idea. Gracias.
