¿Es un ideal propio de un anillo de polinomios (sobre un campo) todavía propio en el anillo de polinomios sobre una extensión de campo?

Question

Dejemos que $\mathbb{F}$ sea un campo y que $\mathbb{K}$ sea su cierre algebraico. Sea $p_1,p_2,...,p_k \in \mathbb{F}[x_1,...,x_n]$ sea tal que el ideal generado por estos elementos en el anillo $\mathbb{F}[x_1,...,x_n]$ es correcto. ¿Es cierto que el ideal generado por $p_1,p_2,...,p_k$ en el ring $\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ ¿sigue siendo adecuado?

La afirmación es verdadera siempre que $k=1$ (y $\mathbb{K}$ no es necesario que sea el cierre algebraico de $\mathbb{F}$ ): si el ideal generado por $p\in \mathbb{F}[x_1,...,x_n]$ en el ring $\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ es el anillo completo, entonces hay $q \in \mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ tal que $pq=1$ . Desde $\mathbb{K}$ es un campo y $p, q$ son invertibles, se da el caso de que $p,q \in \mathbb{K}$ . Por lo tanto, $p \in \mathbb{F}$ y luego $q \in \mathbb{F}$ .

Answer 1

Sí, y esto es sólo álgebra lineal. Supongamos que buscamos polinomios $f_1,\dots,f_k$ de grado como máximo $m$ tal que $\sum f_ip_i=1$ . Esta ecuación puede expandirse en un sistema de ecuaciones lineales en los coeficientes del $f_i$ . Si este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución en $\mathbb{F}$ tampoco tiene solución en ninguna extensión de $\mathbb{F}$ (ya que podemos determinar si existe una solución mediante la eliminación gaussiana, que sólo utiliza las operaciones de campo).

O, desde una perspectiva más sofisticada, dejemos $R=\mathbb{F}[x_1,\dots,x_n]$ , $S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ , $I=(p_1,\dots,p_k)\subseteq R$ y $J=(p_1,\dots,p_k)\subseteq S$ . Tenemos entonces isomorfismos canónicos $S\cong\mathbb{K}\otimes_\mathbb{F} R$ y $$S/J=S/IS\cong S\otimes_R R/I\cong \mathbb{K}\otimes_\mathbb{F} R/I.$$ Si $I$ es adecuado, entonces $R/I$ es un no trivial $\mathbb{F}$ -espacio vectorial, por lo que $S/J\cong \mathbb{K}\otimes_\mathbb{F} R/I$ es un no trivial $\mathbb{K}$ -espacio vectorial, por lo que $J$ es apropiado.

Answer 2

Supongamos que $I=(p_1,...,p_k)$ es un ideal propio $\mathbb{F}[x_1,...,x_n]$ . Dejemos que $J$ sea un ideal máximo de $\mathbb{F}[x_1,...,x_n]$ que contiene $I$ . Entonces $J=(q_1,...,q_m)$ para algunos $q_1,...,q_m$ en $\mathbb{F}[x_1,...,x_n]$ y podemos considerar el ideal de $\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ generado por $q_1,...,q_m$ . Que sea $J'$ .

Dejemos que $\Phi$ sea el mapa $\mathbb{F}[x_1,...,x_n] \to \mathbb{K}[x_1,...,x_n]/J'$ tal que $f \mapsto f + J'$ . Desde $J \subset J'$ , $J \subset \ker(\Phi)$ . En $J$ máximo y ser $\ker(\Phi)$ un ideal, $\ker(\Phi)=J$ . Por lo tanto, existe un mapa inyectivo $\mathbb{F}[x_1,...,x_n]/J \to \mathbb{K}[x_1,...,x_n]/J'$ . Observe que $\mathbb{K}[x_1,...,x_n]/J'$ no puede ser trivial, porque $\mathbb{F}[x_1,...,x_n]/J$ no es trivial. Por lo tanto, $J'$ es adecuada. Como el ideal generado por $p_1,...,p_n$ en $\mathbb{K}[x_1,...,x_n]$ está contenida en $J'$ Debe ser apropiado.