¿Cuántos dígitos tiene $99^{99}$ sin una calculadora?

Question

Sé que la respuesta es $198$ .

Me doy cuenta de que si $\log _{10}\left( x\right) =y$ el número $x$ tiene $\lfloor y\rfloor -1$ dígitos

Así que intenté $\log ^{\ }_{10}\left( 99^{99}\right) $ = $\log _{10}\left( 100\left( 1-\dfrac {1}{100}\right) \right) $ = $198 + 99\log_{10}\left( 1-\dfrac {1}{100}\right) $ Entonces no sé cómo proceder. Supongo que utilizar este método equivale a encontrar una buena aproximación a $\log _{10}\left( 99\right)$

También me interesaría saber cómo se puede resolver esto con el teorema del binomio: $\left( 100-1\right) ^{99}$

Answer 1

Para demostrar que $99^{99}$ tiene $198$ dígitos, tenemos que demostrar que

$$10^{197}\le99^{99}\lt10^{198}$$

La segunda desigualdad es obvia, ya que $99^{99}\lt100^{99}=10^{198}$ . Así que queda por demostrar la primera desigualdad.

Para ello, recordemos que

$$\left(1+{1\over n}\right)^n\lt e$$

para cualquier $n\ge1$ . Daremos por sentada también la (¡generosa!) desigualdad $e\lt10$ . Así,

$$\left(100\over99\right)^{99}=\left(1+{1\over99}\right)^{99}\lt e\lt10$$

así que $100^{99}\lt10\cdot99^{99}$ . Desde $100^{99}=10^{198}=10\cdot10^{197}$ la desigualdad $10^{197}\lt99^{99}$ ahora sigue.

Answer 2

El número $x$ tiene $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ dígitos. Por lo tanto, $x = 99^{99}$ tiene $\lfloor 99 \log_{10}(99) \rfloor + 1$ dígitos. El número $\log_{10}(99)$ es sólo menos que $\log_{10}(100) = 2$ Así que $\lfloor 99 \log_{10}(99) \rfloor$ es uno menos que $99 \cdot 2 = 198$ que es $197$ . Sumando 1 se obtiene el número de dígitos de $x$ : 198.

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Editar: Sí, hay que cuantificar el "poco menos", pues de lo contrario las cosas podrían salir mal, y esto nos lleva a la madriguera de las buenas aproximaciones para $\log_{10}(99)$ .

Siendo realistas, en un entorno de álgebra/precálculo, como indica la etiqueta de la pregunta, esto podría justificarse heurísticamente observando lo plana que es la gráfica de $\log_{10}(x)$ está cerca $x = 99$ . Agitar las manos y decir "suficiente".

Si nos vamos a la madriguera, otras respuestas dan métodos; aunque son elementales, yo diría que no son obvios, especialmente para un típico estudiante de álgebra/precálculo. Permitiendo el cálculo, hay un método más simple/más obvio (IMHO). Dejemos que "sólo menos" sea $\varepsilon$ . Por un corolario del teorema del valor medio, $$ \varepsilon = \log_{10}(100) - \log_{10}(99) \leq (100-99) \max_{x \in [99,100]} \frac{1}{x \ln(10)} = \frac{1}{99 \ln(10)}. $$ Así se obtiene la estimación cuantitativa deseada: $\lfloor 99(2 - \varepsilon) \rfloor = \lfloor 198 - 99 \varepsilon \rfloor = 197$ donde la última igualdad se deduce de la desigualdad anterior que muestra que $\varepsilon < \frac{1}{99}$ .

Answer 3

Utilizar el Teorema del Binomio sería muy tedioso. Aunque esto no proporciona una estimación tan buena como $198$ dígitos, la desigualdad de Bernoulli es muy rápida. $$99^{99}=100^{99}\left(1-\frac1{100}\right)^{99}\ge100^{99}\left(1-\frac{99}{100}\right)=100^{97}=10^{194}$$ por lo que estamos seguros de que $99^{99}$ tiene al menos $194$ dígitos.

También podemos acotar lo anterior utilizando $$99^{99}<100^{99}=10^{198}$$ por lo que sabemos que $99^{99}$ tiene como máximo $198$ dígitos.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$\left(1-\frac1{100}\right)^{100} $$ es una aproximación bastante buena para $e$ Por lo tanto $$99^{99}=100^{99}\cdot\left(1-\frac1{100}\right)^{99}\approx 10^{198}\cdot \frac 1{0.99e} \approx 3\cdot10^{197}.$$

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Podemos precisar un poco más lo de "bastante bueno" (pero más débil) con la desigualdad de Bernoulli: $$ 1>\left(1-\frac1{100}\right)^{99}>\left(1-\frac1{100}\right)^{100}=\left(\left(1-\frac1{100}\right)^{50}\right)^2\ge \left(\frac12\right)^2=\frac14$$ para que $$10^{197}<\frac14\cdot10^{198}<99^{99}<10^{198} $$

Answer 5

Además de $$\log ^{\ }_{10}\left( 99^{99}\right)=99\log ^{\ }_{10}\left( 99\right)\approx 99\log_{10}(100)=99\times2$$ también puede probar $$\left( 100-1\right) ^{99}=100^{99}-99\,\cdot\,100^{98}+\tbinom{99}{2}100^{97}+\cdots=100^{99}+\tbinom{99}{2}100^{97}+\cdots-\cdots$$ Por observación (ya que no tienes una calculadora), $100^{99}=10^{198}$ está sentado delante, mientras que otros términos vienen más tarde se ocupará de los demás, o se puede decir $10^{198}$ es dominante entre las piezas. Por lo tanto, los dígitos son $198$ . ¡También coincide con la estimación!