La resolución del determinante dado sólo una columna de valores.

Question

Dado \det $$\begin{bmatrix} a & 1 & d \ b & 1 & e \ c & 1 & f \ \end{bmatrix} = 4 $$ y

$ \det\begin{bmatrix} a & 1 & d \ b & 2 & e \ c & 3 & f \ \end{bmatrix} = -2 $$

Me pide encontrar $$ \det\begin{bmatrix} a & 8 & d \ b & 8 & e \ c & 8 & f \ \end{bmatrix} $$ junto $$ \det\begin{bmatrix} a & 4 & d \ b & 5 & e \ c & 6 & f \ \end{bmatrix} $$

Cómo sería ir haciendo esto, entiendo que la primera de ellas sería 32 ya que cuando cualquier fila (o columna) se multiplica por un escalar el determinante se multiplica por el mismo valor. ¿Cómo puedo encontrar el determinante de la matriz del segundo?

Answer 1

Tienes razón sobre la primera pregunta. Para el segundo, nota que\begin{align}\det\begin{bmatrix} a & 4 & d \ b & 5 & e \ c & 6 & f \ \end{bmatrix} y = \det\begin{bmatrix} a & 3+1 & d \ b & 3+2 & e \ c & 3+3 & f \ \end{bmatrix}\ y = \det\begin{bmatrix} a & 3 & d \ b & 3 & e \ c & 3 & f \ \end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix} a & 1 & d \ b & 2 & e \ c & 3 & f \ \end{bmatrix}.\end{align}

Answer 2

Comenzar con las propiedades de matrices:

$$\text{det}\begin{bmatrix}a_1+d_1 & b_1 & c_1 \ a_2 + d_2 & b_2 & c_2 \ a_3+d_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix} = \text{det}\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix} + \text{det}\begin{bmatrix}d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}$$

Esto es cierto para cualquier columna. Es fácil demostrar:

$$\text{det}\begin{bmatrix}a & 8 & d \ b & 8 & e \ c & 8 & f\end{bmatrix} = 8\cdot \text{det}\begin{bmatrix}a & 1 & d \ b & 1 & e \ c & 1 & f\end{bmatrix}$$

$$\text{det}\begin{bmatrix}a & 4 & d \ b & 5 & e \ c & 6 & f\end{bmatrix} = \text{det}\begin{bmatrix}a & 1 & d \ b & 2 & e \ c & 3 & f\end{bmatrix}+3\cdot \text{det}\begin{bmatrix}a & 1 & d \ b & 1 & e \ c & 1 & f\end{bmatrix}$$

Answer 3

La manera inteligente es saber que determinado es lineal en cada columna de la matriz de entrada.

Deje $$\text{D(C)} := \text{det}\begin{bmatrix}a & C_0 & b \\ c & C_1 & d \\ e & C_2 & f \end{bmatrix}$$.

Entonces D es una función lineal en C. Tenemos D($\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$) = 4 y D($\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$) = -2 y ganas D($\begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$) = D(3*$\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$) = 3*D($\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$) + D($\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$) = 10.

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El mudo forma es simplemente escribir las ecuaciones.

Dado: $$(1): -1bf + 1ec +2af -2dc -3ae + 3db = -2$$ y $$(2): -bf + ec + af - dc - ae + db = 4$$

Resolver: $$(3): -4bf+4ec+5af-5dc-6ae+6db = X$$

Así, de inicio de puesta a cero de los factores de

$$(3)-4*(2): af-dc-2ae+2db = X-4*4$$ ahora queremos deshacernos de la af plazo. Así, (1)-(2) ha de af como líder del término: $$(1)-(2): af-cd-2ae+2db = -2-4$$ Como $(3)-4*2 = (1)-(2)$ tenemos $$ -6 = X-16 $$ $$ X=10 $$ por supuesto, esto es sólo un lugar ruidoso, propenso a errores, los primeros principios de la versión de la "determinante son lineales en una columna" solución.