Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad. Consideremos la colección de ideales $\mathcal F:=\{I \lhd R : R/I $ es infinito $ \}$ . Si $\mathcal F$ es no vacía, entonces $\mathcal F$ tiene necesariamente un elemento máximo con respecto a la inclusión ?
Sólo puedo demostrar que cualquier elemento maximal de $\mathcal F$ (si existe) es un ideal primo.
Dejemos que $k$ sea un campo finito y que $R=k^I$ para un número infinito de $I$ .
Entonces los ideales de $R$ corresponden a los filtros de $I$ . Si tienes razón en que tal ideal es primo, entonces esto implica que el filtro correspondiente es primo, por lo que un ultrafiltro, por lo tanto $R/K$ es en realidad isomorfo a $k$ por lo que es finito, una contradicción.
Por lo tanto, si tienes razón en cuanto a la primalidad de dicho ideal, entonces hay ejemplos sin un elemento máximo (y, por supuesto, ejemplos con un elemento máximo, como $\mathbb{Z}$ )
Estas cosas como ideales de $k^I$ corresponde a los filtros de $I$ y los ideales primos corresponden a los ultrafiltros y $R/K \cong k$ ... ¿dónde puedo leer sobre estas cosas?
Dejemos que $k$ sea un campo finito, sea $X=\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ y que $R$ sea el anillo de funciones continuas $X\to k$ donde $k$ tiene la topología discreta. (Equivalentemente, $R$ es el anillo de secuencias eventualmente constantes de elementos de $k$ .) Obsérvese que los ideales en $R$ están en biyección con subconjuntos cerrados de $X$ enviando un subconjunto cerrado $A\subseteq X$ al ideal $I(A)$ de funciones que desaparecen en él. Además, $R/I(A)$ puede identificarse con el anillo de funciones continuas $A\to k$ . En particular, $R/I(A)$ es infinito si $I(A)$ es infinito.
Por lo tanto, su pregunta para este $R$ equivale a preguntarse si existe un subconjunto cerrado infinito mínimo de $X$ . La respuesta es no, ya que para cualquier subconjunto cerrado infinito $A\subseteq X$ puede eliminar cualquier punto de $A$ además de $\infty$ para obtener un subconjunto cerrado infinito más pequeño.
(En general, se puede obtener un ejemplo similar con $X$ sustituido por cualquier espacio infinito de Stone).
La topología habitual, la compactación en un punto de $\mathbb{N}$ con la topología discreta.
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