Hace tiempo, un profesor que conozco dijo que hay resultados en cuatro dimensiones que son más difíciles de demostrar (por ejemplo, el Conjetura de Poincaré suave aunque no me interesa específicamente). Cualitativamente, ¿por qué y cómo puede ser que en un problema, una dimensión específica destaque sobre las demás? ¿Existe algo bonito, más sencillo ejemplo que la Conjetura de Poincaré y el asunto de la galga supersimétrica para explicar que algunos específico $n$ -¿el espacio de una dimensión sería particularmente más "rígido" para un resultado, y diferente de los espacios análogos con sólo otras dimensiones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mientras que el declaraciones de las cosas que van mal en 4 dimensiones puede ser fácil de declarar, es muy raro que el pruebas no implican una gran cantidad de maquinaria de alta tecnología. El campo no se expandió rápidamente hasta 1982, cuando se publicaron dos teoremas muy importantes:
1) Freedman demostró un teorema que clasifica a todos los objetos cerrados simplemente conectados topológico 4 manifolds hasta el homeomorfismo. Cada una de estas variedades tiene una matriz unimodular (la matriz definitoria tiene determinante $\pm 1$ ) forma bilineal simétrica $H^2(X;\Bbb Z) \otimes H^2(X;\Bbb Z) \to \Bbb Z$ . Están determinados por este emparejamiento (hasta el isomorfismo), así como por un número adicional $\kappa \in \{0, 1\}$ . Toda forma bilineal simétrica unimodular puede ser realizada, y los valores de $\kappa$ que puede surgir para una forma bilineal fija $\beta$ son conocidos.
2) Donaldson demostró que si $X$ es un 4-manifiesto cerrado cuya forma de intersección es Definitivamente (esto significa, de manera equivalente, que $\beta(x,x)$ es negativo o positivo para todos los $x$ ), entonces la forma de intersección es diagonalizable (esto significa que hay una base de vectores $x_i \in H^2(X;\Bbb Z)$ para que $\beta(x_i, x_i) = \pm 1$ , donde $\pm$ es el mismo signo para todos los $i$ y $\beta(x_i, x_j) = 0$ para $i \neq j$ ).
Son especialmente sorprendentes en combinación: hay un gran número de formas de intersección definidas que no son diagonalizables sobre los enteros (el número de ellas es exponencial en el rango de $H^2(X)$ ), y por tanto una clase exponencialmente creciente de 3manifolds no suavizables, por el resultado de Freedman.
Estas nuevas herramientas proporcionaron nuevas y excitantes direcciones para los 4manifolds (y los 3manifolds que delimitan), que florecieron y condujeron a las muchas y fascinantes diferencias entre la topología 4D y la alta D - pero el hecho de que las técnicas en (1) y (2) sean en sí mismas tan complicadas debería advertir que la mayoría de los resultados lo serán.
He aquí un ejemplo del tipo de pregunta cuya respuesta se comprendió mejor después de 1982. Verás la aparición tanto de la teoría gauge como de la teoría de la cirugía.
Consideremos la clase de 3manifolds orientados cerrados con la misma homología que $S^3$ Estos son los esferas de homología entera . Podemos definir una relación sobre esta clase: decimos que $Y \sim Y'$ si existe un 4manifold compacto $W$ con límite $Y \sqcup -Y'$ para que ambos mapas $H_*(Y) \to H_*(W) \leftarrow H_*(Y')$ son isomorfismos. Estos se llaman coordinaciones de homología y el conjunto cociente resultante se escribe $\Theta^3_{\Bbb Z}$ tiene una estructura de grupo dada por la operación de suma conectada, y se denomina grupo de cobordismo homológico.
Dada una cerrado un 4manifold simplemente conectado $X$ cuya forma de intersección tiene $\beta(x,x) \in 2\Bbb Z$ para todos $x$ (decimos $\beta$ es "par"), es un teorema de Rokhlin que la firma de $\beta$ - el número de valores propios positivos menos el número de valores negativos - es un múltiplo de 16. Lo escribimos como $\sigma(X) \in 16\Bbb Z$ .
Dada una homología de 3 esferas $Y$ podemos encontrar una 4manifold cerrada simplemente conectada $W$ con forma de intersección uniforme y $\partial W = Y$ . Es un teorema del álgebra que $\sigma(W) \in 8\Bbb Z$ . Sin embargo, lo que promete el teorema de Rokhlin es que $\sigma(W)$ es independiente de $W$ modulo $16$ dado otro colector delimitador $W'$ y pegarlas a lo largo de la frontera para obtener un colector cerrado $X = W \cup_Y -W'$ Así que vemos $\sigma(W) - \sigma(W') = \sigma(X) \in 16\Bbb Z$ .
Así, enviando una homología 3-esfera $Y$ a $\sigma(W)/8 \pmod{2}$ , donde $W$ es un manifiesto uniforme simplemente conectado de 4 dimensiones, está bien definido; de hecho, desciende a un homomorfismo $\mu: \Theta^3_{\Bbb Z} \to \Bbb Z/2$ . Esto se llama homomorfismo de Rokhlin.
No tengo una referencia, pero en periódicos suficientemente antiguos se puede ver de vez en cuando que alguien pregunta si $\mu$ es un isomorfismo.
Hasta ahora nada es especial. Una variante del teorema de Rokhlin sigue siendo cierta para el "spin $(8k+4)$ -(ahora teorema de Ochanine), y se puede definir una operación similar de "defecto de firma" en el espín $(8k+3)$ -manifolds. (Una 3-esfera de homología tiene exactamente una estructura de espín, por lo que este adjetivo no es amenazante). Además, la noción de cobordismo homológico tiene sentido en todas las dimensiones; incluso se pueden meter palabras como "espín" si se quiere.
Lo que es especial en 3/4 dimensiones, desafortunadamente para ti, es la teoría gauge. En 1990 Furuta señaló que un invariante de Fintushel y Stern (un número real asociado a una secuencia coprima de enteros $(a_1, \cdots, a_n)$ llamado el $R$ -invariante de ciertas 3 esferas de homología $\Sigma(a_1, \cdots, a_n)$ ) implica que $\Theta^3_{\Bbb Z}$ tiene un subconjunto infinito de elementos que son linealmente independientes; como este grupo contiene un $\Bbb Z^\infty$ subgrupo, ¡debe ser generado infinitamente! Eso está muy lejos de ser isomorfo a $\Bbb Z/2$ .
Sin embargo, en las altas dimensiones, existe una teorema de Kervaire que afirma que $\Theta^n_{\Bbb Z} = 0$ para $n \geq 4$ . Es una pieza clásica de la "teoría de la cirugía", la misma herramienta que acabó con la conjetura de Poincare,
Para relacionar esto con el teorema de Donaldson, he aquí un ejemplo ligeramente explícito; es el estándar.
La forma de intersección definida más sencilla (en términos de rango) que no es diagonalizable es la $E8$ formulario . El resultado de Freedman construye una 4-manifolda topológica cerrada y simplemente conectada con forma de intersección E8 por un procedimiento muy poco explícito; no puedo en absoluto dibujarles este espacio. El teorema de Donaldson dice que no puede haber una 4-manifold lisa cerrada de este tipo.
Sin embargo, existe tal 4 manifiesto con límite . Es un poco difícil de describir para alguien que no esté ya inmerso en la topología, pero se define como lo que se llama una "construcción de fontanería" (una cierta forma de pegar los 4 manifolds simples a partes de sus límites) basada en la forma E8. Su frontera se llama Esfera de homología de Poincare y escrito $\Sigma(2,3,5)$ , el manificio 3 definido como un colector como $SO(3)/A_5$ , donde $A_5$ es el grupo de simetría del icosaedro situado en el espacio tridimensional, centrado en el origen. (Su grupo fundamental se llama " $2I$ ", el grupo binario icosaédrico, y es de orden 120). Como $\sigma(E_8) = 8$ Esto implica que $\mu(\Sigma(2,3,5)) = 1$ . Cuando se hace esto ' $E8$ plomada' en la dimensión $4k$ pero donde $k > 1$ entonces el límite resulta ser una esfera exótica (por lo que su grupo fundamental también es trivial, en lugar de ser simplemente una esfera de homología): es una categoría diferente de "rareza".
El teorema de Donaldson demuestra algo más: el colector $\#^n \Sigma(2,3,5)$ nunca es cero en $\Theta^3_{\Bbb Z}$ . Prueba: Si lo fuera, delimitaría un espacio con la homología de una bola (ser cero significa que hay un cobordismo de homología a $S^3$ que se rellena con un disco). Pero usted sabe que por otro lado se limita $\oplus^n E8$ (tomando la suma de conexión de un grupo de los colectores que hemos discutido anteriormente). Pegando estos dos 4manifolds en sus límites se obtiene un 4manifold liso y cerrado simplemente conectado con forma de intersección $\oplus^n E8$ que no es diagonalizable. Esto contradice el teorema de Donaldson, por lo que $\Sigma(2,3,5)$ no es de torsión en $\Theta^3_{\Bbb Z}$ .
Freedman's $E8$ fue el primer ejemplo de colector no triangulable. Esto fue demostrado por Casson, utilizando un invariante estrechamente relacionado con el de Rokhlin.
