Encontré la siguiente fórmula para la función de piso:
ps
para todo$$\lfloor x \rfloor = -\frac12+x+\frac{\arctan(\cot\pi x)}{\pi}$ no es un entero.
Mi pregunta es dónde puedo encontrar la prueba de esta fórmula.
Respuestas
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Es bien sabido que la función cotangente tiene el período$\pi$, por lo que la cotangente de$\pi x$ tiene el período$1$.
Con la definición habitual de la tangente de arco, obtiene un número entre$-\frac\pi2$ y$\frac\pi2$ o, después de la división entre$\pi$, un número entre$-\frac12$ y$\frac12$
Por lo tanto,
ps
Ahora,
ps
De todos modos, la fórmula es prácticamente inútil, ya que no está definida para el entero$$\frac{\arctan\cot\pi x}\pi=\frac{\arctan\tan\left(\dfrac\pi2-\pi x\right)}\pi=\frac12-x\bmod1$.
5xum
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Sugerencia :
Anote$x=n + \frac12 + q$ donde$n$ es un número entero y$q\in\left(-\frac12, \frac12\right)$.
Luego usa teoremas de suma trigonométrica y el hecho de que$$\cot(n\pi+\frac\pi2) = \frac{\cos(n\pi + \frac\pi2)}{\sin(n\pi +\frac\pi2)} = 0 $ $
Jon Clegg
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Considere la posibilidad de
$$f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\cot(\pi x)}\frac{dy}{1+y^2}=\frac{\arctan(\cot(\pi x))}{\pi},$$
con la última ecuación obtenida sustituyendo $y=\tan u.$ Desde $x\to \cot(\pi x)$ es manifiestamente periódica de período de $1,$ $f$ integra a $0$ más de un período (desde $\cot$ es una función impar), $f$ también es periódica.
Al $x$ no es un número entero $f$ es diferenciable en a $x$ debido a que tanto $\cot(\pi x)$ y la integral (qua función de su límite superior). La Regla de la Cadena y el Teorema Fundamental del Cálculo juntos implica
$$f^\prime(x) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{1 + (\cot(\pi x))^2}\right) \frac{d}{dx}\left(\cot(\pi x)\right)=\frac{-\pi\csc(\pi x)^2}{\pi\csc(\pi x)^2}=-1.$$
Esta es la idea clave, porque muestra $f$ tiene las propiedades básicas que se requieren para construir las funciones que son periódicas y lineal entre sus puntos de discontinuidad. El resto es álgebra.
Desde $f(1/2)$ es una parte integral de la $0$ $0=\cot(\pi/2),$
$$f(1/2) = 0.$$
Esta información determina completamente $f.$ A resumir, en no integral de los valores de $f$ cae linealmente con una pendiente $-1,$ es igual a $0$$1/2,$, y se repite este patrón entre cada una de las sucesivas par de enteros. En consecuencia, la función de
$$\frac{1}{2} - f(x)$$
debe aumentar linealmente de $0$ $x=0$ hasta un límite de $1$ $x\to 1.$ Porque es periódica, se cae a $0$ al$x=1$, y se repite este patrón hasta el infinito en ambas direcciones. Obviamente que describe el resto ("parte fraccionaria") de la función. Es decir,
$$x - \lfloor x \rfloor = \frac{1}{2} - f(x).$$
La solución para el suelo,
$$\lfloor x \rfloor = x - \left( \frac{1}{2} - f(x)\right) = -\frac{1}{2} + x + \frac{\arctan(\cot(\pi x))}{\pi}.$$
tparker
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La función arcotangente es multivalor - cuando el pensamiento como una función de una variable compleja, su dominio es una superficie de Riemann con varias hojas unidas en cortes de ramas en el plano complejo. Por lo que su fórmula no está bien definida, a menos que especifique que la rama está considerando la posibilidad de ser el director de la sucursal. La forma más natural para especificar la costumbre rama principal de la arco tangente de la función, básicamente, utiliza la idea de la función del suelo de todos modos, por lo que su fórmula "para" la función del suelo es correcto, pero algo circular.
