¿Qué significa el signo igual en matemáticas?

Question

Cuando decimos $a=a$ significa que son absolutamente iguales ¿cierto? ¿Qué significa igual en $3+2=7-2$? ¿Significa que son absolutamente iguales o que el valor es simplemente el mismo?

Answer 1

Ciertamente es verdad que, consideradas como cadenas de caracteres, las expresiones "$3+2$" y "$7-2$" son cosas diferentes. Y también es cierto que a veces nos importan las expresiones desde un punto de vista puramente formal, y nos gustaría distinguir entre diferentes cadenas de caracteres que significan lo mismo. (Por ejemplo, las personas que estudian lógica matemática y metamatemática a menudo necesitan describir las propiedades de cadenas de símbolos como cadenas.) Entonces, en tal contexto, sería razonable escribir algo como $$\textrm{"}3 + 2 \textrm{"} \ne \textrm{"}7 - 2 \textrm{"} $$ Pero note que aquí he introducido una convención notacional ad hoc (las comillas) para distinguir la expresión "$3+2$" del número que la expresión representa. En general, establecer convenciones notacionales claras es esencial si deseas distinguir entre un objeto y una expresión o cadena de símbolos que designa ese objeto.

Esto surge con tanta frecuencia en niveles superiores que ni siquiera pausamos a reflexionar al respecto. Por ejemplo:

• A menudo distinguimos entre una función $f$ y el valor de una función en un valor genérico $f(x)$, por lo que la ecuación $f(x)=g(x)$ significa que dos funciones están de acuerdo en el $x$, mientras que $f=g$ significa que dos funciones están de acuerdo globalmente;
• Podemos definir una relación de equivalencia en una estructura y usar corchetes o una barra superior para indicar una clase de equivalencia; entonces tiene mucho sentido decir que $a \ne b$ pero $[a] = [b]$;
• Podríamos estar interesados en polinomios sobre un anillo $R$; cada polinomio $p \in R[x]$ puede interpretarse naturalmente como una función $\hat{p}:R\to R$. Sin embargo, dos polinomios diferentes pueden inducir la misma función: por ejemplo, con $R=\mathbb Z_6$ los polinomios $p=x^5 + 3x^2 + 4x$, $q = 3x^4 + 5x$ y $r = 2x$ inducen exactamente la misma función, entonces $\hat{p}=\hat{q}=\hat{r}$ aunque $p \ne q \ne r$.

Normalmente no hacemos tales distinciones finas en el nivel de la simple aritmética, pero podríamos, y puede haber contextos en los que deberíamos. Por ejemplo, si estamos interesados en la complejidad computacional, vale la pena saber que la expresión $\sqrt{5^2 + 12^2}$ requiere 4 operaciones, mientras que $5+8$ requiere solo 1; del mismo modo, almacenar la primera expresión en memoria toma más bits que almacenar la segunda expresión. Entonces, si bien los números nombrados por $\sqrt{5^2 + 12^2}$ y $5+8$ son el mismo número, las expresiones que los nombran son nombres diferentes.

Creo que esta distinción está relacionada con lo que los lingüistas llaman la distinción de uso-mención, es decir, una distinción entre usar una palabra o frase para referirse a algo, y mencionar una palabra o frase para referirse a la palabra o frase en sí. Un ejemplo de la página de Wikipedia vinculada en la oración anterior:

Uso: El queso se deriva de la leche.

Mención: "Queso" se deriva de la palabra en inglés antiguo cese.

Nota en este ejemplo el uso de comillas para distinguir entre la cosa y la palabra.

En los días de la Nueva Matemática, este tipo de distinción entre "número" y "numeral" (donde este último se refiere al nombre utilizado para expresar una cantidad numérica) estaba integrado en el plan de estudios de matemáticas de K-12 en los Estados Unidos, pero ese nivel de sutileza llegó a ser ampliamente considerado como una distinción innecesaria.

Answer 2

Cuando escribimos $$\text{LHS}=\text{RHS}$$ queremos decir que la expresión en el lado izquierdo es igual a la del lado derecho.

Podemos dividir esto en cuatro categorías:

• Identidades: siempre son verdaderas, como $$\sin^2x+\cos^2x=1,\quad x\in\mathbb{R}$$ y como mencionaste, $$a=a$$ ya que para cualquier valor de $a$, la afirmación es verdadera.

• Expresiones algebraicas: estas incluyen parámetros desconocidos llamados variables, y las expresiones solo son verdaderas si las variables son iguales a algo. Por ejemplo, $$7+x=2-4\tag{1}$$ es cierto si, y solo si, $$x=(2-4)-7=-9$$ y cualquier otro valor que tome $x$ hará que $(1)$ sea una _des_igualdad, que se puede usar con $<,>$ o $\neq$.

• Términos infinitos: Se mencionó en los comentarios la 'igualdad' $$\sin x=x+\mathcal{O}(x^3)\implies|\sin(x)-x|\le Mx^3$$ donde $M$ es una constante a medida que $x\to0$. Esto claramente es cierto ya que es solo una simplificación de la serie de Taylor para $\sin$. ¡Pero en realidad es una desigualdad! También, está la igualdad $$2=1+\frac12+\frac14+\cdots$$ donde necesitamos escribir infinitos términos de la forma $1/2^n$ para que la afirmación sea cierta. Ten en cuenta que, por supuesto, se puede expresar como una suma infinita.

• Definiciones: Como señaló @MarkS. abajo, esto se usa ampliamente para asignar expresiones a variables. Por ejemplo, $P=\prod_ia_i$ para una secuencia $\{a_i\}$. Sin embargo, también está el símbolo $:=$.

Answer 3

El signo '$=$' puede tener diferentes significados dependiendo de lo que haya a cada lado de él, y generalmente los matemáticos saben lo que se quiere decir a partir del contexto. Sin embargo, esta pregunta parece referirse específicamente a los enteros, así que hablaré sobre la igualdad en este sentido (que se generaliza a muchos conjuntos). La noción de un conjunto es muy importante aquí. Un conjunto es simplemente una colección de objetos, por ejemplo $$A := \{2,3,4,5,6\}$$ es un conjunto que contiene a $2$, $3$, $4$, $5$ y $6. (Nota que estoy usando $:=$, lo cual significa que estoy asignando el valor de la derecha al símbolo de la izquierda, ya que estoy tratando de evitar el uso del signo de igualdad). No hay razón para que un conjunto deba ser finito; otro ejemplo de conjunto es el de los números naturales, por ejemplo $\mathbb{N} := \{1,2,3,4,5,6,7,8, \ldots\}$, que contiene todos los enteros positivos estrictos.

Algo que vamos a usar más adelante es el hecho de que los conjuntos pueden crearse a partir de conjuntos. Tomando $A$ como se mostró anteriormente, podemos crear el conjunto:

$$P := \{a\in A: \text{$a$ es primo}\}$$

Incluso podemos crear conjuntos de pares ordenados, por ejemplo: $$D := \{(a,b): a\in A, b\in A \text{ , y $a$ divide a $b$}\}$$ Aquí $D$ es $ \{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)\}$

Ahora tenemos prácticamente todo lo que necesitamos para definir la igualdad. Comencemos con un ejemplo: tomar el conjunto de todos los enteros $\mathbb{Z} := \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$. Entonces definimos la igualdad de la siguiente manera:

Dados dos enteros, $a$ y $b$, decimos que $a=b$ si $(a,b) \in \{(x,x) : x\in \mathbb{Z}\}$

Veamos ese conjunto de la derecha. ¿Qué contiene ese conjunto? Bueno, simplemente estamos iterando sobre todos los enteros y creando pares ordenados del mismo elemento, por lo que $\{(x,x) : x\in \mathbb{Z}\} $ es el conjunto $\{\ldots,(-3,-3), (-2,-2), (-1,-1), (0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\}$. ¿Ves por qué la definición tiene sentido?

La igualdad definida de esta manera es en realidad una relación de equivalencia, que te animo a investigar más a fondo.

La ventaja de esta definición es que se generaliza maravillosamente a conjuntos más abstractos. Por ejemplo, podemos definir el conjunto $S$ de todas las funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y la igualdad de funciones definida de esta manera es concisa y teóricamente sólida.

Por supuesto, estoy pasando por alto muchos detalles, pero espero que esto te permita ver el 'panorama general'.

Refiriéndome específicamente a tu pregunta, aunque la redacción no es clara (especialmente lo que se entiende por absolutamente igual), $3+2$ es el resultado de sumar $3$ a $2$, y por lo tanto es en sí mismo un número, el número $5$. Creo que lo que podría estar confundiéndote es el hecho de que los símbolos de la izquierda son diferentes de los de la derecha, pero recuerda que $f(x)$ denota lo que obtenemos al aplicar la función $f$ a $x$. En este caso, $+$ es una función que toma dos números y produce un número: $+(3,2) = 5$. (Normalmente escribimos el $+$ como un operador infijo: $3+2 = 5$). Entonces lo que estás preguntando es si el resultado de $+(3,2)$ es el mismo que el resultado de $-(7,2)$, y la respuesta es sí. Compara esto con $2^2 = 2 + 2$.

En relación a mi comentario anterior, déjame darte un ejemplo de cosas que son iguales a 2: $$\det\begin{bmatrix}1& 1\\-1& 1\end{bmatrix}\\ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}\\ 2\int_0^{\pi/2}\cos x \, dx\\ 1+1 $$

Si escribo $$2\int_0^{\pi/2}\cos x \, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n\frac{1}{2^k}$$

lo que se quiere decir se comprende perfectamente ya que son dos números iguales entre sí (y aquí debo enfatizar que son ambos números, sin importar lo complicada que sea la forma en que están escritos).

Answer 4

No enumeraré todos los diferentes usos del signo igual, solo explicaré por qué se usa incorrectamente, a propósito, muchas veces.

Técnicamente, decir $a=b$ significa que $a$ y $b$ son exactamente lo mismo. Es por eso que, en geometría, hacen una distinción entre igual y congruente.

Si decimos que el segmento de línea $\overline{AB}$ es igual al segmento de línea $\overline{CD}$,

$$\overline{AB} = \overline{CD}$$

entonces o $A=C$ y $B=D$ o $A=D$ y $B=C$. Los segmentos deben ser exactamente el mismo segmento. Cuando queremos decir que dos segmentos tienen la misma longitud, entonces decimos que los dos segmentos son congruentes, $$\overline{AB} \cong \overline{CD}$$

Si representamos la longitud del segmento $\overline{XY}$ como $XY$, entonces podemos definir

$$\overline{AB} \cong \overline{CD} \quad \text{si y solo si} \quad AB=CD$$

La congruencia es una forma conveniente de expresar que dos cosas son diferentes pero que comparten algunas propiedades comunes que nos interesan. La congruencia es una relación de equivalencia.

Las relaciones de equivalencia ocurren todo el tiempo en matemáticas pero se pasan por alto porque la mayoría de las veces sería demasiado tedioso señalarlas. Por ejemplo, en un sentido muy real $3+2 \ne 7-2$ porque los símbolos $3+2$ y $7-2$ no se parecen en absoluto exactamente iguales. Pero tienen el mismo valor por lo que sería más adecuado decir $3+2 \cong 7-2$ o $3+2 \equiv 7-2$ o algo así para indicar que comparten una propiedad muy importante.

La razón por la que se usa $=$ cuando se quiere decir $\cong$ es que, técnicamente, tendríamos que inventar un símbolo diferente para cada tipo diferente de congruencia y eso pronto se nos iría de las manos.

Nota que esta es una tecnicidad que se puede ignorar sin ningún daño hasta que alguien note que algo está mal al decir $3+2 = 7-2$

Answer 5

Obviamente, $3+2$ y $7-2$ no son absolutamente iguales (aunque esta expresión es casi sin sentido), simplemente por el hecho de que están hechos de caracteres diferentes.

Los valores son de hecho iguales.