¿Un espacio vectorial finito no puede estar cubierto por un número finito de subespacios propios?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita, $V_i$ es un subespacio propio de $V$ por cada $1\leq i\leq m$ para algún número entero $m$ . En mi texto de álgebra lineal, he visto un resultado que $V$ nunca puede ser cubierto por $\{V_i\}$ pero no sé cómo probarlo correctamente. He escrito mi prueba falsa a continuación:

Primero podemos demostrar el resultado cuando $V_i$ es un subespacio de codimensión 1. Dado que $codim(V_i)=1$ podemos elegir un vector $e_i\in V$ s.t. $V_i\oplus\mathcal{L}(e_i)=V$ , donde $\mathcal{L}(v)$ es el subespacio lineal abarcado por $v$ . Entonces elegimos $e=e_1+\cdots+e_m$ Quiero demostrar que ninguno de $V_i$ contiene $e$ pero he fracasado.

¿Podría decirme una prueba sencilla y corregida de este resultado? Las ideas de pruebas también son bienvenidas~

Nota: : Como @Jim Conant mencionó que este es posible para un campo finito, asumo el campo base de $V$ sea un campo numérico.

Answer 1

[Editar] Esto la respuesta está contenida en otra respuesta mía. Lo siento por eso. Cambiando a CW[/Edición]

Elige una base y un sistema de coordenadas $x_1,\ldots,x_n$ para $V$ . WLOG asume que $n \geq 2$ . Como ha observado, sin pérdida de generalidad podemos suponer que los subespacios son todos de codimensión uno, es decir, espacios de soluciones de una única ecuación homogénea $$ a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n=0 $$ en las coordenadas $x_i,i=1,\ldots,n$ . Por lo tanto, un único subespacio intersectará el conjunto infinito $$ S=\{(1,t,t^2,\ldots,t^{n-1})\mid t\in k\} $$ en un número finito de puntos, porque el polinomio $a_1+a_2t+a_3t^2+\cdots+a_nt^{n-1}$ tiene como máximo $n-1$ ceros.

Por lo tanto, es imposible abarcar todos los $S$ Por lo tanto, todos los $V$ con un número finito de subespacios.

Tenga en cuenta que si $k$ es incontable, entonces este argumento muestra que necesitamos incontables subespacios.

Answer 2

¿Conoces la prueba de que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial es un subespacio si y sólo si uno de los dos subespacios está contenido en el otro? Si el campo es infinito, se puede encontrar una prueba similar para tu afirmación.

Supongamos que $V$ está cubierto por un número finito de $V_i$ y se supone que la cobertura es mínima. Entonces hay wlog a $v\in V_1$ que no está en ningún otro $V_i$ y también hay wlog a $w\in V_2-V_1$ . Entonces los vectores $av+w$ para $0\neq a\in k$ (donde $k$ es el campo base) se encuentran en espacios pares diferentes $V_i$ . En efecto, si $av+w$ y $bv+w$ ambos están en $V_i$ entonces también lo es $(a-b)v$ que es una contradicción. Dado que $k$ es infinito esto demuestra tu afirmación.

Answer 3

Esta pregunta se formuló en MathOverflow hace varios años y recibió muchas respuestas: ver aquí .

Una de estas respuestas fue la mía. Me refería a esta nota expositiva que ha aparecido en el número de enero de 2012 de la revista Boletín Mensual de Matemáticas de Estados Unidos .

Answer 4

Este es un caso especial del hecho de que un espacio afín sobre un campo infinito es irreducible. La prueba se puede encontrar en la mayoría de los libros de geometría algebraica elemental (véase, por ejemplo, las curvas algebraicas de Fulton).

Answer 5

Habiendo estado pensando en el análisis funcional durante la semana pasada, Teorema de la categoría de Baire me vino a la mente, pero lamentablemente esto supone que el campo es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ :

Un subespacio lineal de dimensión finita es cerrado, y un subespacio lineal propio tiene el interior vacío. Por lo tanto, según Baire, una unión contable de subespacios lineales de dimensión finita también tiene el interior vacío; en particular, no es el espacio entero.

(Creo que la primera frase sigue siendo cierta en la generalidad de $V$ siendo un espacio vectorial topológico. Sin embargo, para aplicar Baire a $V$ necesitamos que sea localmente compacta Hausdorff (es decir, de dimensión finita, por Riesz ) o completamente metrizable (por ejemplo, un Frechet o incluso F- espacio).