Un amigo me habló de un problema de concurso, que había visto una vez pero cuya procedencia no recordaba:
Una secuencia infinita de enteros positivos $a_i$ tiene esta propiedad: para cada primo $p$ el conjunto $\{ a_1,a_2,...,a_p\}$ es un sistema de residuos completo módulo $p$ . Ahora demuestre que $\frac{a_n}{n}$ converge a $1$ .
1) ¿Alguien reconoce este problema y sabe de dónde viene?
2) Me gustaría una solución. Aunque no lo he resuelto, he hecho una observación curiosa. Denotando los primos por $p_i$ la secuencia con estos bloques $[p_n,p_n-1,...,p_{n-1}+1]$ es admisible. El enunciado del problema implica entonces que $\frac{p_{n+1}}{p_n}$ tiende a $1$ . Rara vez un problema de concurso dice algo sobre la distribución de los primos.
EDIT: Mi curiosidad por este problema crece día a día, pero mi progreso no. Estaría encantado y agradecido por una solución, sean cuales sean las técnicas empleadas.
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Me costó un minuto entender tu estructura de bloques en 2), así que quizá valga la pena explicarlo un poco mejor. (Sólo para asegurarme: tus bloques son esencialmente [2, 1], [3], [5, 4], [7, 6], [11, 10, 9, 8], [13, 12], [17, 16, 15, 14], etc., ¿correcto?)
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A menos que me equivoque, su colección es una simple reordenación de $a_i=i$ . ¿Cómo demuestra esa construcción que el cociente de los primos sucesivos va a $1$ ?
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@lulu Porque el $p_n$ El término de su secuencia es $p_{n-1}+1$ , por lo que debe ser que $\lim_{n\to\infty}\frac{p_{n-1}+1}{p_n}=1$ ya que es una subsecuencia de $a_n$ .
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@StevenStadnicki Ah, gracias. Puede que me equivoque, pero creo que demostrar ese límite requiere el Teorema de los Números Primeros (o al menos algo parecido).
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Además, debo señalar que $\lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}}{p_n}=1$ no es en realidad un resultado tan fuerte; se mantendría si tuvieras, por ejemplo $p_n\approx n^2$ y creo que es bastante sencillo mostrar un límite cuadrático en el $n$ de la primera. (Aunque hay que tener en cuenta que eso no es suficiente para mostrar el límite en sí mismo, porque es posible que el límite no exista en absoluto; es más bien que el límite no dice mucho sobre el crecimiento asintótico de los primos que no sea bastante sencillo).
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@StevenStadnicki sigue siendo más potente que, por ejemplo, el postulado de Bertrand, aunque asintóticamente.
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Como nota al margen, el uso de Teorema de Rosser es fácil mostrar $\lim\limits_{n \to \infty } \frac{p_{n}}{p_{n+1}}=1$ por ejemplo este