Mostrar desaparecerá que $a \otimes 1$ $A\otimes_{\Bbb{Z}}\Bbb{Q}$ sólo cuando $a=0$.

Question

<blockquote> <p>Que $A$ ser un $\mathbb{Z}$-módulo. Quiero ver eso si $a \otimes 1=0$ $A\otimes_{\Bbb{Z}}\Bbb{Q}$, entonces el $a=0$. Supondré que $A$ es libre de torsión.</p> </blockquote> <p>¿Puedo usar que existe un homomorfismo inyectivo de $A \otimes \mathbb{Q}$ $Hom(A^{*} \times \mathbb{Q}^{*}, \mathbb{Z})$ para mostrar que $a=0$? El homomorfismo se da en $f(a \otimes 1)(v^{*},w^{*})=v^{*}(a)w^{*}(1)$</p> <p>Cada $\alpha: \mathbb{K} \to \mathbb{Z}$ verifica $\alpha(1) \alpha\left(\frac{1}{\alpha(1)}\right)=\alpha(1)$ $\alpha(1)$ es $1$ o $-1$. Entonces $f(a \otimes 1)(v^{*},w^{*})=\pm v^{*}(a)$ mostrando que $a$ debe ser cero.</p>

Answer 1

Suponiendo que usted ha visto que el hecho de que $\Bbb{Q}$ es un plano $\Bbb{Z}$-módulo puede argumentar de la siguiente manera.

Debido a $A$ es asumido de torsión libre, el submódulo generado por el elemento $a$ es isomorfo a $\Bbb{Z}$. Por lo $f:\Bbb{Z}\to A, n\mapsto na$ es un inyectiva homomorphism. Planitud significa que $$ f\otimes id: \Bbb{Z}\otimes\Bbb{P}\\otimes\Bbb{Q}, n\otimes q\mapsto na\otimes q $$ también es inyectiva.

Pero aquí $\Bbb{Z}\otimes\Bbb{Q}\cong\Bbb{Q}$, lo $1\otimes 1\neq0$. Por inyectividad $f(1\otimes 1)=a\otimes1\neq0$, demasiado.

Answer 2

Como ya he comentado, su enfoque está condenado, porque no hay homomorphisms de$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$. Aquí hay un par de diferentes enfoques posibles que usted puede tomar.

Enfoque 1: Considerar la localización de la $A_{(0)}$ de la $\mathbb{Z}$-módulo de $A$ obtenido por la inversión de cada elemento distinto de cero de a $\mathbb{Z}$. Explícitamente, $A_{(0)}$ se compone de clases de equivalencia de fracciones $a/n$ donde $a\in A$ $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ donde $a/n=b/m$ fib existe un valor distinto de cero $k\in\mathbb{Z}$ tal que $kma=knb$. La construcción de un bilineal mapa de $A\times \mathbb{Q}\to A_{(0)}$, y demostrar que tiene la característica universal del producto tensor, lo que en realidad $A_{(0)}\cong A\otimes \mathbb{Q}$. Ahora uso la descripción explícita de $A_{(0)}$ en términos de las fracciones y el hecho de que $A$ es de torsión libre para mostrar que $a\otimes 1=0$ implica $a=0$.

Enfoque 2: en Primer lugar, demostrar que la declaración que se desea es cierto si $A$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo. Ahora tenga en cuenta que si $a\otimes 1=0$$A\otimes\mathbb{Q}$, hay un finitely generado subgrupo $A_0\subseteq A$ tal que $a\in A_0$ $a\otimes 1=0$ $A_0\otimes\mathbb{Q}$ (para probar esto, piense en la construcción explícita de que el producto tensor como cociente de la libre $\mathbb{Z}$-módulo de expresiones formales $a\otimes b$). Ahora uso la clasificación de finitely generado abelian grupos $A_0$ es gratis (este es el paso que usted necesita $A$ a ser de torsión).