$a^{12} \equiv 1 \pmod{35}$, saber que $(a,35)=1$

Question

Demostrar que $\forall a \text{ with } (a,35)=1:$

$$a^{12} \equiv 1 \pmod{35}$$

$$35 \mid a^{12}-1 \Leftrightarrow 5 \cdot 7 \mid a^{12}-1 \overset{(5,7=1)}{ \Leftrightarrow} 5 \mid a^{12}-1 \text{ and } 7 \mid a^{12}-1$$

Por lo tanto, $\displaystyle{ a^{12} \equiv 1 \pmod{35} \Leftrightarrow a^{12} \equiv 1 \pmod 5, a^{12} \equiv 1 \pmod 7}$

$$(a,35=1) \Rightarrow (a, 5 \cdot 7)=1 \overset{(5,7)=1}{\Rightarrow } (a,5)=1 \text{ and } (a,7)=1$$

Según el teorema de Fermat:

$$a^4 \equiv 1 \pmod 5$$ $$a^{12} \equiv (a^4)^3 \equiv 1 \pmod 5$$

También:

$$a^6 \equiv 1 \pmod 7$$ $$a^{12} \equiv (a^6)^2 \equiv 1 \pmod 7$$

Por lo tanto, concluimos que:

$$a^{12} \equiv 1 \pmod{35}$$

¿Podría decirme si es correcto?

Answer 1

Sí podemos decir. Esto es porque tenemos $a^{12} \equiv 1 \pmod 5 \iff 5|(a^{12}-1).$ semejantemente $a^{12} \equiv 1 \pmod 7 \iff 7|(a^{12}-1)$. Desde ${\rm gcd}(5,7)=1$, tenemos $5\cdot 7 | (a^{12}-1)$, es decir, $a^{12} \equiv 1 \pmod {35}$.

Answer 2

% Toque $\ $si $\,a\,$ coprimos primos $\,p_1!\ne p_2\,$ y $\,\color{#0a0}{p_i!-1\mid n}\,$ entonces por $\rm\color{#c00}{little\ Fermat}$

$\qquad\qquad\qquad {\rm mod}\ p_i!:\,\ a^n\equiv (\color{#c00}{a^{\,\large p_i-1}})^{\Large\color{#0a0}{\frac{n}{p_i-1}}!}\equiv \color{#c00}1^{\Large\color{#0a0}{\frac{n}{p_i-1}}}\equiv 1\,\Rightarrow\, p_i\mid a^n-1\,\Rightarrow\, p_1 p_2\mid a^n-1$

Answer 3

Sugerencia: $(a,5)=1$ sólo de posibilidades son: $a=5k+1;5k+2;5k+3;5k+4$

$(5k+1)^{12}\equiv 1\mod5$ caso debe ser claro...

$(5k+2)^{12}\equiv 1\mod 5$ debe quedar claro si sabe qué $2^{12}$...

$(5k+3)^{12}\equiv 1\mod 5$ debe quedar claro si sabe qué $3^{12}$...

$(5k+4)^{12}\equiv 1\mod 5$ debe quedar claro si sabe qué $4^{12}$...

Pueden repetir este tipo de estrategia para el caso de $7$ y concluir lo que querías...