Homeomorfismo entre $\mathcal{C}(X,\Omega Y)$y $\mathcal{C}(\Sigma X, Y)$

Question

Es fácil ver que hay una natural bijection entre el $\mathcal{C}(X,\Omega Y)$ $\mathcal{C}(\Sigma X, Y)$ donde $\Omega Y$ es la base de bucle espacio, $\Sigma X$ se reduce la suspensión, $X$ $Y$ están basados en los espacios.

Ahora $\mathcal{C}(*,*)$ también $\Omega Y$ puede ser compacto-abierta de la topología. Es natural bijection se mencionó anteriormente, en realidad un homeomorhpism con esta topología?

Puedo probar que esto es cierto si asumo $X$ es un espacio compacto. Me han demostrado que hay una evidente mapa de $\Phi : \mathcal{C}(X,\Omega Y)\to \mathcal{C}(X\times S^1, Y)$ $\Phi$ es un homeomorphism en su imagen. De $\text{Im}{\Phi}$ I puede definir un mapa en $\mathcal{C}(\Sigma X,Y)$, pero para mostrar que este mapa es continua necesito $X$ a ser compacto. A continuación, la composición es en realidad el natural bijection.

Es la compacidad de $X$ necesario para demostrar la declaración? Puede ser generalizado a decir localmente compacto espacios o compacta generado espacios?

Cualquier ayuda con respecto a esto es apreciado.

Answer 1

Como Rolf Sievers ya se ha indicado en los comentarios, esto es cierto si usted trabaja en la categoría de forma compacta generado espacios. Pero ser conscientes de que la función de los espacios de no llevar el compacto-abierta topología en esta situación, pero el compacto generado el refinamiento de lugar.

Si usted no desea modificar la topología de los espacios de funciones, usted tiene que poner más fuertes condiciones en uno de los espacios: Si $X$ es localmente compacto, $\Phi$ es un homeomorphism con el regular compacto-abierta de la topología y de cualquier espacio de $Y$. Una prueba de esto aparece en Tammo tom Diecks libro en topología algebraica (ver Teorema 2.4.11 el uso de $\Sigma X\cong S^1\wedge X$).