Intenté integrar esto por partes pero no funcionó. Algún medio sencillo para hacerlo. $$\int\sin^{-1}\biggl(\frac{2x+2}{\sqrt{4x^{2}+8x+13}}\biggr) \ dx$$
Respuestas
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Poner $2x+2 = 3 \tan(\theta)$ y ver qué pasa.
$\textbf{Added.}$ Primero observe que $$4x^{2}+8x+13= (2x+2)^{2} + 3^{2}.$$ Así que espero que seas consciente del hecho de que $\text{if you have an integral of the form}$ , $1+x^{2}$ , entonces generalmente se sustituye, $x= \tan(\theta)$ . Este es también el caso aquí. Haciendo eso obtenemos,
\begin{align*} \int \sin^{-1}\biggl(\frac{2x+2}{\sqrt{4x^{2}+8x+13}}\biggr) \ dx &= \int\sin^{-1}\biggl(\frac{3\cdot \tan\theta}{3 \cdot \sec\theta}\biggr) \cdot 3 \sec^{2}\theta \ d\theta \\ &= 3\cdot\int \sin^{-1}(\sin\theta) \cdot \sec^{2}\theta \ d\theta \\ &= 3 \cdot \int \theta \cdot\sec^{2}\theta \ d \theta \end{align*}
Utilice integración por partes para evaluar la última integral. Poner $u = \theta$ y $dv = \sec^{2}(\theta) \ d\theta$ . Así que la respuesta para la última parte debería ser $$\int \theta \cdot \sec^{2}\theta \ d \theta = \theta\cdot\tan\theta + \ln(\cos\theta) + C$$
Oli
Puntos
89
No empecemos a integrarnos con demasiada prisa.
Completar la plaza es un movimiento natural: $4x^2+8x+13=(2x+2)^2+9$ . En un triángulo rectángulo, un determinado ángulo tiene un seno igual a $$\frac{2x+2}{\sqrt{(2x+2)^2 +9}}.$$ Si el lado "opuesto" es $2x+2$ y la hipotenusa es $\sqrt{(2x+2)^2+9}$ el lado restante del triángulo debe ser $3$ . Así que estamos tratando de integrar $$\arctan\left(\frac{2x+2}{3}\right).$$ Tras la sustitución natural, llegamos a $$\int\frac{3}{2}\arctan t \,dt,$$ una variante suave de una integral estándar.
Añadido para completar la información : Encontramos $\int \arctan t\;dt$ utilizando la integración por partes. Sea $u=\arctan t$ , $dv=dt$ . Entonces $du=\frac{dt}{1+t^2}$ y $v$ puede tomarse como $t$ . De ello se desprende que $$\int \arctan t\;dt=t\arctan t -\int \frac{t}{1+t^2} dt.$$ El resto de la integral se resuelve fácilmente con la sustitución $w=1+t^2$ . Por último, recordamos nuestro factor constante $3/2$ y obtener $$\frac{3}{2}t \arctan t -\frac{3}{4}\ln(1+t^2) + C.$$
Omitimos la sustitución de la espalda $t=(2x+2)/3$ .
La cuestión de los signos : ¿Y si $2x+3$ ¿es negativo? Para indefinido integrales, hay casi una tradición de cálculo de no preocuparse por esas cosas. Pero sí. El significado habitual de $\arcsin u$ es el número entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ cuyo seno es $u$ . Para $\arctan u$ Hay dos opciones comunes de intervalo, $(-\pi/2,\pi/2)$ y $[0,\pi)$ . Si utilizamos $(-\pi/2,\pi/2)$ la respuesta obtenida anteriormente es correcta para el negativo $2x+3$ . Si utilizamos $[0,\pi)$ Hay que hacer un pequeño ajuste.
