Diferentes enfoques para probar $a^a \times b^b \gt (\frac{a+b}{2})^{(a+b)}$, donde $a \gt b \gt 0$

Question

<blockquote> <p>Prueba $a^a \times b^b \gt (\frac{a+b}{2})^{(a+b)}$, donde $a \gt b \gt 0$</p> </blockquote> <p>¿Un método que podría ser utilizado aquí es usando la desigualdad $$(1+x)^{(1+x)} \times (1-x)^{(1-x)} \gt 1$ $ nada está mal con este enfoque sin embargo algunos examinadores les gustaría ver también la primera prueba, la primera prueba también es muy fácil, pero me preguntaba si hay alguna otra forma para probar el mismo?</p>

Answer 1

Suponiendo que $a,b>0$ obtenemos

$a^a.b^b\ge \left(\frac{a+b}2\right)^{(a+b)}$ $\Leftrightarrow$

$a\log a+b\log b \ge (a+b)\log\left(\frac{a+b}2\right)$ $\Leftrightarrow$

$\frac{a\log a+b\log b}2 \ge \frac{a+b}2\log\left(\frac{a+b}2\right)$

La última desigualdad es verdad si $f(x)=x\log x$ es convexo para $x>0$, lo cual es cierto, desde el derivado $f'(x)=\log x+1$ en aumento. (La desigualdad pasada tiene la forma $\frac{f(a)+f(b)}2 \ge f\left(\frac{a+b}2\right)$.)

Si $a\ne b$ obtenemos la desigualdad terminante desde $f(x)$ es estrictamente convexa (estrictamente es aumento de $f'(x)$).

Answer 2

Puede utilizar el AM ponderada > = GM

$$\left(\frac{2}{a+b}\right)^{a+b} = \left(\frac{ a \times 1/a + b \times 1/b}{a+b}\right)^{a+b} \ge (1/a)^a (1/b)^b$$

La reescritura nos da su desigualdad.

Answer 3

Su desigualdad es equivalente a $$ \left(\frac{a}{a+b}\right)^a \left(\frac{b}{a+b}\right)^b > \left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}. $$

Deje $p = a/(a+b)$. A continuación, $1/2 < p < 1$ y la desigualdad es $$ p^a (1-p)^b > (1/2)^{a+b}. $$ Supongamos que (wlog) que $a,b$ son enteros. Definir $f(q) = q^a (1-q)^b$, la probabilidad de que una moneda con la tendencia de $q$ surge $a$ los tiempos de "cabeza" y $b$ los tiempos de "colas". La desigualdad de $f(p) > f(1/2)$ puede ser generalizado a $$ \frac{a}{a+b} = \operatorname*{argmax}_{q \in [0,1]} f(q). $$ Esto indica que la estimación por Máxima Verosimilitud de $q$$a/(a+b)$.

Si no te gusta el hecho de que $a,b$ deben ser interpretados como números enteros, se puede considerar el equivalente a la desigualdad $$ g(p) > g(1/2), \quad g(q) = q^p (1-q)^{1-p}. $$ Esto tiene la misma interpretación. Por otra parte, el "registro de razón de verosimilitud" $$\log \frac{g(p)}{g(1/2)}$$ is exactly equal to the Kullback-Leibler divergence between a $p$sesgada de la moneda y una feria de la moneda. De no negatividad de la última es equivalente a la desigualdad.