Relación de recurrencia para la función exponencial

Question

Motivado por este pregunta, encuentro la siguiente relación de recurrencia para la función exponencial ( fuente ): \begin {align} a_n&=n(a_{n-1}+1)& e^{1/a_1}= \prod_ {n=1}^ \infty (1+a_n^{-1}) \end {align} Estoy buscando una prueba de la fórmula de la derecha.

La fórmula explícita para $a_n$ está dada por: \begin {align} \frac {a_n}{n} &= \frac {a_{n-1}}{(n-1)!}+ \frac 1{(n-1)!} \\ &=a_1+ \sum_ {k=0}^{n-1} \frac 1{k!} \\ & \to a_1+e \end {align} por lo tanto $a_n\sim (a_1+e)n!$ como $n\to\infty$ . Alguna idea para demostrar la convergencia del producto infinito a $e^{1/a_1}$ ?

Answer 1

$\def\e{\mathrm{e}}$ Para cualquier $n \in \mathbb{N}_+$ , $$ \prod_{k = 1}^n \left( 1 + \frac{1}{a_k} \right) = \prod_{k = 1}^n \frac{a_k + 1}{a_k} = \prod_{k = 1}^n \frac{a_{k + 1}}{(k + 1) a_k} = \frac{1}{a_1} \frac{a_{n + 1}}{(n + 1)!}, $$ y como ya se ha demostrado, $$ \frac{a_{n + 1}}{(n + 1)!} = a_1 + \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!}, $$ así $$ \prod_{k = 1}^n \left( 1 + \frac{1}{a_k} \right) = 1 + \frac{1}{a_1} \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} \to 1 + \frac{\e}{a_1}. \quad n \to \infty $$