Estoy considerando la posibilidad de un polinomio $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ y mirando de tanto en $\mathbb{Z}_n[x]$ ($n$ compuesta) y en $\mathbb{F}_p[x]$, para recopilar información acerca de las posibles raíces y irreductibilidad en $\mathbb{Z}[x]$.
Yo pensaba que entendía bien la situación, pero está claro que yo no puedo. Al principio pensé que teniendo en cuenta que las raíces/irreductibilidad en $\mathbb{Z}_n[x]$ le dio nada. Pero si hay un homomorphism $\phi:\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_n[x]$, entonces si $\alpha$ es una raíz de $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$, entonces tenemos para $f(x) = f_0 + f_1x + ... + f_tx^t$:
$$0=\phi(0)=\phi(f_0 + f_1\alpha + ... + f_t\alpha^t)=[f_0]_n+[f_1]_n[\alpha]_n + ...+[f_t]_n[\alpha]_n^t$$
Y así por el contrapositivo, si $f(x)$ no tiene raíz en $\mathbb{Z}_n[x]$ no tiene raíz en $\mathbb{Z}[x]$. ¿O es que el hecho de que $\mathbb{Z}_n[x]$ no es una integral de dominio de alguna manera hacer que esto no siga? Sospecho que no, pero estoy teniendo problemas para ver exactamente cómo y por qué.
Como algo relacionado con la pregunta. ¿Cómo funciona el homomorphism $\phi:\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_n[x]$ diferir de la homomorphism $\psi:\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{F}_p[x]$? Ya que estos son los dos surjective homs pensé que iba a estar en el núcleo, pero los granos no parecen ser cualitativamente diferentes. El teorema de mi profesor de notas dice que irreductibilidad en $\mathbb{F}_p[x]$ implica irreductibilidad en $\mathbb{Z}[x]$, por lo que debe haber algo especial acerca de $p$ prime.
También ¿qué pasa si usted tiene por ejemplo un 4to grado del polinomio que factores irreducibles cuadráticas en $\mathbb{F}_p[x]$, entonces no es irreducible en a $\mathbb{F}_p[x]$ pero no tiene raíces allí, podemos decir que, a continuación, no tiene raíces en $\mathbb{Z}[x]$?
Como puedes ver estoy portadores de un número de confusiones acerca de lo que está pasando aquí, si alguien pudiera ayudar a iluminar mí sería muy apreciada, gracias.
