Podría alguien darme una explicación geométrica de la diferencial total, si no es tal? Para mí(un no-matemático) que sólo se parece a la generalización de la derivada a más dimensiones, pero en las dimensiones superiores, que no tiene un significado geométrico. Estoy en lo cierto? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Thomas
Puntos
6040
Sólo para asegurarse de que hablamos de la misma cosa: la diferencial de una (diferenciable) mapa de $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ se define como
$$df = \frac{\partial f}{\partial x^1} dx^1 + \dots+ \frac{\partial f}{\partial x^n} dx^n$$ Hay casos más complejos (vector de valores de mapas o funciones complejas) que voy a omitir aquí.
Supongo que usted sabe lo $\frac{\partial f}{\partial x^i} $ es, así que la pregunta sigue siendo: ¿$dx^i$es. En realidad, si se hace rigurosamente, es exactamente lo mismo, es la diferencial total de la función de las coordenadas $x^i$, el cual se asigna un vector $v$ con coordenadas $v= \sum v^l e_l$ a la i-ésima componente, es decir, el coeficiente de $e_i$. Por lo $x^i(v)= v^i$.
Ahora, en general, el diferencial de un mapa es el primer orden (lineal) la aproximación de ese mapa, que en el caso de la de coordinar las funciones (que son lineales mapas) es sólo el mapa de sí mismo: $dx^i(v) = v^i$. Esto parece un poco redundante y en el espacio Euclidiano que, en cierta medida, lo es, pero en la más general de espacios es importante para mantener un seguimiento de la información adicional en la que el punto de esto es evaluado. No basta con mirar algunas de vectores $v$, pero para algunos vectores $v$ conectado a algún punto del espacio, y también el diferencial está restringido a la 'tangente' espacio en ese punto. En el espacio Euclidiano puede, hasta cierto punto, ignorar esta complejidad adicional, a costa de ser menos preciso que luego pueden causar confusión.
De regreso a la (geométrica) significado de la diferencial total: con el excurse acerca de coordinar las funciones en cuenta que ahora se puede comprobar fácilmente que $$df(v) =\frac{\partial f}{\partial x^1} dx^1 (v) + \dots+ \frac{\partial f}{\partial x^n} dx^n (v) = \sum_l \frac{\partial f}{\partial x^l}v^l $$ es simplemente la derivada direccional de $f$ dirección $v$ (en algún punto de $p$, por ejemplo), que también se puede escribir como $$\frac{d}{dt}f(p+tv))|_{t=0}$$ which is just the rate of change of $f$ in direction $v$ in $p$ or the slope of the tangent to the graph of $f$ in $p$ in direction $v$ (similares como en el caso de funciones reales).
De otra manera puede que ya haya encontrado a escribir esto es abajo es $$\langle \nabla f(p),v\rangle$$ el producto escalar del gradiente de $f$ ( $p$ ) con $v$, lo que ha supuesto el mismo significado geométrico. La diferencia es que en el primer caso se expresa mediante el uso de un lineal mapa ($df(p)$), en el segundo caso, por un vector ($\nabla f(p)$). I álgebra lineal puede que haya aprendido que lineal funcionales y vectores están en una correspondencia uno a uno a cada uno de los otros, y en caso de tener un producto escalar esta correspondencia se define a través de la asignación de un vector $X$ el lineal mapa de $v\mapsto \langle X,v\rangle$. Esta es exactamente la correspondencia entre el $\nabla f$ $df$ mencionado anteriormente.
Así, tal y como yo lo estoy de que se trate, tiene un preciso significado geométrico (y se utiliza a lo largo de una rama de las matemáticas que se llama geometría diferencial) para analizar la geometría de las superficies, curvas y más general de los objetos llamados colectores.
(Mis disculpas a todos aquellos que piensan que esto no es lo suficientemente exacta, al igual que en todo el mundo, para quienes esto es todavía complicado. Y para todos aquellos que ya han visto esto una y mil veces) ;-)
