Sabemos que no podemos definir un buen orden de los reales?

Question

Cuenta la leyenda que es imposible definir un buen orden de los reales de forma explícita.

Existen pointwise definibles modelos de ZFC , donde cada conjunto es definible sin parámetros: es el único elemento del modelo que satisface una fórmula finita $\varphi(x)$. Así que no hay una fórmula $\varphi(x)$ tal que $$ \tag{*} \forall x(\varphi(x)\rightarrow x\text{ well-orders }\mathbb R) \land \exists ! x\,\varphi(x) $$ es consistente con ZFC. (Y no es difícil escribir un hormigón $\varphi$ que va a trabajar en un modelo con $\mathbf V=\mathbf L$).

Se sabe que no es $\varphi(x)$ tal que $\text{(*)}$ es un teorema de ZFC?

Por supuesto, ya que hay modelos de ZF que no tienen un orden de $\mathbb R$, en un modelo de $\varphi(x)$ sería unsatisfiable o ser satisfecho por algo que no se bien el fin de $\mathbb R$. Por lo que el Axioma de Elección tendría que ser utilizada de forma esencial en la prueba de $\text{(*)}$. Pero eso no parece excluir la posibilidad de que $\varphi$ podría existir.

Answer 1

La respuesta es que no podemos escribir una fórmula que seguramente define un buen orden de $\Bbb R$ $\sf ZFC$ (al menos suponiendo que $\sf ZFC$ es consistente), aunque no sé cuya crédito por ello.

Supongamos que $\varphi(x,y)$ seguramente define un bijection de $\Bbb R$ con un ordinal (esto es equivalente a la forma de estado, sólo lo que es más fácil trabajar con él más adelante). Tenga en cuenta que $\sf ZF$ demuestra que cada pedido tiene un único isomorfismo con un único ordinal, por lo que no depende de nada.

Deje $M$ ser una contables transitiva modelo [de suficiente axiomas] de $\sf ZFC$. Considere la posibilidad de obligar a la que se añade una Cohen real. Las condiciones de esta obligando son finitos funciones de $p\colon\omega\to2$ (aquí nos referimos a funciones parciales, por supuesto), ordenado por la inversa de la inclusión.

Denotar por $\dot c=\{(p,\check k)\mid p(k)=1\}$ el nombre canónico de los Cohen real. Deje $G$ $M$- filtro genérico, y deje $c$ denotar la interpretación de nuestros Cohen real por $G$.

En $M[G]$ hay algo de $\alpha$ tal que $M[G]\models\varphi(c,\alpha)$, por lo que para algunos $p\in G$ tenemos que $p\Vdash\varphi(\dot c,\check\alpha)$.

Ahora elija cualquiera de los $m,n\notin\operatorname{dom}(p)$ y considerar la permutación de $\omega$ que es el ciclo de $(m\ n)$. Esta permutación es en $M$, y se puede aplicar a las condiciones de la forzamiento (por la acción $\pi p(\pi n)=p(n)$). Así que podemos pensar en ello como un automorphism de la forzando. Algunos hechos básicos:

1. Un automorphism de la obligando extiende de manera única a un automorphism de los nombres.
2. $p\Vdash\phi(\dot x)$ si y sólo si $\pi p\Vdash\phi(\pi\dot x)$ por un automorphism $\pi$.
3. En el Cohen forzar, si $\pi$ es un automorphism inducida como el anterior por una permutación de $\omega$, y no es la identidad automorphism, a continuación,$1\Vdash\pi\dot c\neq\dot c$.
4. Si $x\in M$, $\pi\check x=\check x$ donde $\check x$ es el nombre canónico de $x$.

Ahora tenemos que $\pi p\Vdash\varphi(\pi\dot c,\pi\check\alpha)$. Pero $\pi p=p$, y por lo tanto $p\Vdash\varphi(\pi\dot c,\check\alpha)$. Lo cual es una contradicción ya que ahora $p\Vdash\varphi\text{ defines an injective function}\land\pi\dot c\neq\dot c\land\varphi(\dot c,\check\alpha)\land\varphi(\pi\dot c,\check\alpha)$.

Answer 2

Forzando suficientemente homogénea obligando a los que añade reales es suficiente para obtener la negación de la $(*)$. El punto es que si una fórmula $\phi$ define un parámetro libre de la buena ordenación de $\mathbb R$, entonces para cualquier ordinal $\alpha$, la declaración " $x$ $\alpha$- th real en el orden definido por $\phi$" singularmente caracteriza $x$ en términos de $\alpha$. Si el forzamiento hemos utilizado es homogénea, esto implica que $x$ es en el modelo de terreno, como a continuación, puede proceder únicamente para caracterizar $x$ (por ejemplo, usted puede comprobar si ", su primer dígito es $0$", "el segundo dígito es $1$", etc). La forma en que la homogeneidad es usada, es de notar que todas estas declaraciones no tienen la forma $\psi(\check t_1,\dots,\check t_n)$ cuando se escriben en el forzamiento de la lengua (para algunos $\psi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, y algunos $t_1,\dots,t_n$ en el modelo de terreno). Pero tal afirmación es siempre, o nunca forzada (por la homogeneidad), y así, desde el modelo de terreno, que pueden leer todos los reales en la extensión, por lo que el forzamiento puede agregar reales.

Por lo que se realiza una vez que encuentre un homogénea obligando a los que añade reales. Cohen obligando a es un ejemplo. Uno puede ir más allá y obtener modelos donde no existen órdenes de definibles por el uso de parámetros del modelo de terreno por una simple extensión del dibujo de arriba, e incluso modelos donde no existen órdenes de definibles, incluso si (ordinal definibles, o de tamaño pequeño) parámetros de la extensión son permitidos (aunque ahora tenemos que añadir más de uno Cohen real para lograr esto).

Dado que muchos de los forzantes naturales de posets son lo suficientemente homogéneos para llevar a cabo los argumentos que acabo de describir, uno de los sorprendentes realizaciones que ha venido desde el estudio de obligar a los axiomas es que tienden a implicar la existencia de definibles por el bien-orden (ya sea a partir de un parámetro, o incluso de parámetros libres, si la fuerza de una definibles por el interior del modelo). Tengo un par de artículos que explican este fenómeno, o ver esta charla. Persisten algunas dudas; por ejemplo, es todavía abierto si el Axioma de Martin sostiene y $\omega_1=\omega_1^L$, entonces no es un proyectiva buen orden de los reales. En la década del 2000, yo habría pensado pedir esto era ridículo. Pero no sabemos.