¿Puede ser la función definida de esta manera en todas partes discontinuas?

Question

Supongamos que tenemos una función real de una variable real $f$ definido en el set $[a,b]$ que tiene las propiedades que:

1) $f$ toma valores en el conjunto en el que se define

2) para cada $y \in [a,b]$ existe una y sólo una $x \in [a,b]$ tal que $f(x)=y$.

La pregunta es:

Puede tal función puede estar en todas partes discontinuo?

La cuestión se puede plantear también en esta forma:

¿Existe en todas partes discontinuas bijection definido en el set $[a,b]$ que también toma valores en el conjunto $[a,b]$.

Supongo que la respuesta es sí, pero en el momento en que yo no soy lo suficientemente inteligente como para probar la existencia o para la construcción de un ejemplo.

Gracias por su respuesta y colaboración.

Answer 1

Si trata de $[a,b]=[0,1]$, $$f_0(x)= \begin{cases}x&{x\in\Bbb Q,}\x+\frac12&x\notin \Bbb Q, x\frac12.\end{cases}$ $ % general $[a,b]$tomar $f(x)=a+(b-a)f_0(\frac{x-a}{b-a})$.

(Tenga en cuenta que $f$ en ninguna parte es continuo, pero $f(f(x))=x$.)

Answer 2

Para un no-constructiva prueba de que dicha función existe, tenga en cuenta que hay $2^c$ muchos bijective funciones y sólo $c$ muchas funciones continuas.

Ooop! Esto no es correcto. Este argumento sólo muestra que existe un bijection que no puede ser continua en uno o más puntos. (No continua significa ser discontinuo a uno o más puntos). De hecho, hay $2^c$ muchas de las funciones que tienen al menos un punto de continuidad. Por ejemplo, acaba de tomar la unión de cualquier función con dominio de $[0,1]$ junto con la restricción de $f(x) = x$ $x > 1.$

Me voy a borrar esta respuesta en un par de minutos, después de todos los involucrados aquí esperamos que hayan tenido la oportunidad de ver a mi corrección.

(Un PAR de MINUTOS más TARDE) se pidió que tal vez me quedo con esta hasta por motivos pedagógicos, así que supongo que lo voy a dejar. Por cierto, cuando me di cuenta de el error, he considerado tratando de utilizar el más fuerte resultado de que hay sólo $c$ muchos Borel medible funciones, pero esto tampoco funciona. Hay un montón de no-Borel funciones, incluso los no-Lebesgue medibles funciones, que tienen un montón de puntos de continuidad. Sólo tienes que elegir la función a ser malo en $[0,1]$ y lineal en otro intervalo.

Answer 3

He aquí una receta para la construcción de funciones de las que parece más simple:

• En primer lugar, partición de $[a, b]$ en tres trivial intervalos: $I_0=[a, c), I_1=[c, d), I_2=[d, b]$$a<c<d<b$. Tenga en cuenta que cada intervalo de tamaño de continuo.

• Siguiente, partición de $[a, b]$ en tres mutuamente densa, tamaño de continuidad establece: $[a, b]=D_0\sqcup D_1\sqcup D_2$, donde cada una de las $D_i$ tiene el tamaño y la continuidad de cada $D_i$ es un subconjunto denso de $[a, b]$.

• Por último, recoger bijections $f_i: D_i\rightarrow I_i$, y deje $f=f_0\sqcup f_1\sqcup f_2$ ser la función obtenido por pegado de estas juntas. (Bijections existe ya que cada una de las $D_i$ $I_i$ tiene un tamaño continuo.)

Entonces tenemos:

• $f$ es un bijection entre el$[a, b]$$[a, b]$. Esto es debido a que cada una de las $f_i$ es un bijection, y los dominios y rangos de las $f_i$s de la partición de $[a, b]$.

• $f$ está en todas partes discontinuo. Fix$x\in [a, b]$$\epsilon>0$. Podemos encontrar $y_0\in D_0, y_2\in D_2$$\vert y_0-x\vert, \vert y_2-x\vert<\epsilon$. Pero tenemos la garantía de tener $\vert f(y_0)-f(y_2)\vert\ge d-c$.

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Usted podría preguntar: ¿qué tan difícil es encontrar una partición de un intervalo en condiciones mutuamente densos conjuntos de tamaño continuum? La respuesta, por suerte, es: no es muy difícil.

He aquí una manera. Supongamos $[a, b]=[0, 1]$ por la simplicidad. Entonces:

• Deje $D_0$ el conjunto de los números en $[0, 1]$ cuyo binario de expansión contiene una infinidad de subcadenas de la forma "$1100$," pero sólo un número finito de la forma "$1010$".

• Deje $D_1$ el conjunto de los números en $[0, 1]$ cuyo binario de expansión contiene una infinidad de subcadenas de la forma "$1010$," pero sólo un número finito de la forma "$1100$".

• Por último, vamos a $D_2$ el conjunto de los números en $[0, 1]$ que están en ni $D_0$ ni $D_1$.

Claramente el $D_i$s de la partición de $[0, 1]$, e $D_0$ $D_1$ tienen el tamaño y la continuidad son densos. A ver que $D_2$ tiene el tamaño y la continuidad es densa, tenga en cuenta que $D_2$ contiene el conjunto de todos los números en $[0, 1]$ cuyo binario de expansión contiene una infinidad de subcadenas de la forma "$11001010$."

Answer 4

Toma $A=[0,1].$ nota que $B=[0,1]\cap\mathbb{Q}$ contable, entonces escriba $B={x_n\,;\,n\in\mathbb{N}}.$ entonces definir $f:A\to A$ tales para y_k\in $x\in A-B$ y $f(x)=x$ y dejó $$f(x_1)=x_2, f(x_2)=x_1,f(x_3)=x_4,f(x_4)=x_3,\text{ etc.}$$ Then $f$ will satisfy what you are looking for, because if $x_i\in B $ then you can find a sequence $ (yk) {k\in\mathbb {N}} $ such that $\forall k\in\mathbb {N}, A-B$ and $\lim\limits_{k\to+\infty}y_k=x_i.$ Then you get $$f(xi)=x{i+1} \text{(or $ icadas {i-1} $)} \neq\lim\limits_{k\to+\infty} f(y_k)=x_i.$ $