Ecuación de Schrödinger más simple con espectro continuo y residual

Question

Considere la posibilidad de una ecuación de Schrödinger: $$-\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}f(x)+U(x)f(x)=Ef(x),$$

Necesito un $U(x)$ la satisfacción de las siguientes:

1. La ecuación de Schrödinger con que deben ser resueltos puramente analítica, sin necesidad de valores numéricos (pero el uso de funciones especiales, integrales o de la serie es aceptable - el punto principal es que deben ser explícita, y no otra ecuación a resolver)
2. $\displaystyle \lim_{x\to\infty} U(\pm x)=0$
3. $\exists a,b: U(x)<0\;\forall x\in[a,b]$

I. e. $U(x)$ debe representar algunas potencial que tendría tanto libre y unida de los estados.

Las condiciones de contorno impuestas en algunos puntos $q$, $r$. El cambio de ubicación de estos puntos no deben afectar analíticos de la solvencia de la BVP.

Hay tal $U(x)$? Si sí, ¿cuáles son los ejemplos?

Ejemplos de lo que hace no responder a la pregunta son:

1. finito plaza potencial, ya que para resolver uno tiene que resolver trascendental ecuaciones, que necesitan numerics
2. $\delta$-en forma potencial, ya que a pesar de que pueden ser resueltos analíticamente por el espacio infinito, todavía los resultados en la ecuación al $x\in[q,r]$

Answer 1

A pesar de que uno no puede resolver un problema de finito plaza bien en forma cerrada, es posible dar una expresión explícita para la solución en términos de la serie o integrales. En primer lugar, la solución en términos de la serie para el problema en el espacio infinito se da en R Blümel 2005 J. Phys. R: Las Matemáticas. Gén. 38 L673.

Aquí voy a presentar mi solución en términos de las integrales para el caso cuando las condiciones de contorno se establecen de forma simétrica en $x=\pm b$ y el potencial del pozo pasos son en $x=\pm a$, $a<b$. Para más detalles de la derivación, ver esta página (presione "Descargar PDF" en la esquina inferior derecha para obtener una lectura versión local). Aquí sólo voy a la lista de los resultados.

Así que, aquí está el potencial: $$U(x)=\begin{cases} +\infty & |x|>b,\\ U_0 & a\le|x|\le b,\\ 0 & |x|<a, \end{casos}$$ donde $U_0>0$, $a>0$, $b>a$. Voy a utilizar las siguientes variables (con $k_I$ "wavevector" en el espacio donde $|x|<a$): $$\xi=k_I a,\;\gamma=\sqrt{U_0} a,\;\beta=\frac b a,\;z=\frac xa.$$

Wavefunctions en forma general

A continuación, la función de onda para paridad impar estados para $x\ge0$ $$\begin{align} \psi_I(z)&=\sin\xi z,\\ \psi_{II}(z)&=\frac{\sin\xi}{\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}(\beta-1)\right)}\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\left(\beta-z\right)\right). \end{align}$$

Incluso la paridad de los estados, toma esta forma de $x\ge0$: $$\begin{aligned} \psi_I(z)&=\cos\xi z,\\ \psi_{II}(z)&=\frac{\cos\xi}{\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}(\beta-1)\right)}\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\left(\beta-z\right)\right). \end{aligned}$$

Para $x<0$ esto debe quedar reflejado de acuerdo a la paridad de estado (es decir, incluso el estado de wavefunctions obedecer $\psi(-x)=\psi(x)$, impar queridos $\psi(-x)=-\psi(x)$).

La espectral de la ecuación de $\xi$ va a tomar la forma $$f^\pm(\xi)=0,$$

donde $$\newcommand{\sinc}{\operatorname{pues}} \newcommand{\piso}[1]{\lfloor#1\rfloor} \newcommand{\ceil}[1]{\lceil#1\rceil} \newcommand{\hfloor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{\hceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} f^-(\xi)=(\beta-1)\sinc\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\cos\xi+\cos\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\sinc\xi$$ para paridad impar estados, y $$f^+(\xi)=(\beta-1)\xi\sinc\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\sin\xi-\cos\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\cos\xi$$ incluso la paridad de los estados.

Raíz de separadores

Ahora vamos a encontrar la raíz de los separadores para pares e impares de la paridad de los estados.

Extraño caso

Definir $$\xi^- _ a(m)=\begin{cases} \frac{-\pi m+(\beta-1)\sqrt{(\beta-2)\beta\gamma^2+\pi^2m^2}}{\beta(\beta-2)}&\mathrm{if}\;\;\pi m\ge\gamma\\ \pi m&\mathrm{otherwise} \end{casos},$$ $$\begin{align} m^-_{1c}(m)&=\hceil{\frac{\xi^-_a(m)}{\pi}},\\ m^-_{2c}(m)&=\hceil{\Re\left\{\frac{\beta-1}\pi\sqrt{(\xi^-_a(m))^2-\gamma^2}\right\}}, \end{align}$$ $$\begin{align} \xi^-_{1c}(m)&=\pi m^-_{1c}(m)\\ \xi^-_{2c}(m)&=\sqrt{\left(\frac{\pi m^-_{2c}(m)}{\beta-1}\right)^2+\gamma^2}, \end{align}$$ Ahora esta es la raíz del separador para el extraño caso $$\xi^-(m)=\min(\xi^-_{1c}(m),\xi^-_{2c}(m)),$$ donde $m=0,1,2,...$.

Incluso en el caso de

Definir $$\xi^+_(m)=\begin{cases} \frac{-\pi(2m+1)+(\beta-1)\sqrt{4(\beta-2)\beta\gamma^2+\pi^2(2m+1)^2}}{2(\beta-2)\beta}&\mathrm{if}\;\;\pi m+\frac\pi2\ge\gamma\\ \pi m+\frac\pi2&\mathrm{otherwise} \end{casos}$$

$$\begin{align} m^+_{1c}(m)&=\hceil{\frac{\xi^+_a}\pi-\frac12},\\ m^+_{2c}(m)&=\hceil{\Re\left\{\frac{\beta-1}\pi\sqrt{(\xi^+_a)^2-\gamma^2}\right\}}, \end{align}$$

$$\begin{align} \xi^+_{1c}(m)&=\frac\pi2+\pi m^+_{1c},\\ \xi^+_{2c}(m)&=\sqrt{\left(\frac{\pi m^+_{2c}}{\beta-1}\right)^2+\gamma^2}. \end{align}$$

El separador raíz en el caso de que se $$\xi^+(m)=\begin{cases}0&\mathrm{if}\;\;n=-1\\ \min(\xi^+_{1c}(m),\xi^+_{2c}(m))&\mathrm{otherwise}, \end{casos}$$ donde $m=-1,0,1,2,...$.

La localización de las raíces de la espectral de ecuaciones

Si definimos $$R=\frac{B-A}2,$$ $$h=\frac{A+B}2,$$ $$z(\varphi)=Re^{i\varphi}+h,$$ donde $A$ $B$ $m$th y $(m+1)$th raíz de los separadores, entonces la raíz se puede encontrar utilizando $$\xi'=h+R\left[\frac {\displaystyle\int_0^{2\pi} w(\varphi)e^{2i\varphi}d\varphi} {\displaystyle\int_0^{2\pi} w(\varphi)e^{i\varphi}d\varphi}\right],$$

donde $w(\varphi)=1/f^\pm(z(\varphi))$.

Resumen de la computación procedimiento

Dado el número de $n$ del estado queremos calcular la función de onda, hacemos lo siguiente:

1. Seleccione $\xi^+$ por extraño $n$ o $\xi^-$ incluso $n$, el uso de todas las expresiones de paridad impar de los estados para, incluso,$n$, e incluso la paridad impar $n$

2. Calcular la raíz separadores $A=\xi^\pm(\floor{n/2}-1)$ $b=\xi^\pm(\floor{n/2})$

3. Calcular la raíz $\xi'$ de los espectral de la ecuación

4. Sustituye la raíz de la espectral de la ecuación en la expresión para la función de onda

5. Opcionalmente normalizar la función de onda