A pesar de que uno no puede resolver un problema de finito plaza bien en forma cerrada, es posible dar una expresión explícita para la solución en términos de la serie o integrales. En primer lugar, la solución en términos de la serie para el problema en el espacio infinito se da en R Blümel 2005 J. Phys. R: Las Matemáticas. Gén. 38 L673.
Aquí voy a presentar mi solución en términos de las integrales para el caso cuando las condiciones de contorno se establecen de forma simétrica en $x=\pm b$ y el potencial del pozo pasos son en $x=\pm a$, $a<b$. Para más detalles de la derivación, ver esta página (presione "Descargar PDF" en la esquina inferior derecha para obtener una lectura versión local). Aquí sólo voy a la lista de los resultados.
Así que, aquí está el potencial:
$$U(x)=\begin{cases}
+\infty & |x|>b,\\
U_0 & a\le|x|\le b,\\
0 & |x|<a,
\end{casos}$$
donde $U_0>0$, $a>0$, $b>a$. Voy a utilizar las siguientes variables (con $k_I$ "wavevector" en el espacio donde $|x|<a$):
$$\xi=k_I a,\;\gamma=\sqrt{U_0} a,\;\beta=\frac b a,\;z=\frac xa.$$
Wavefunctions en forma general
A continuación, la función de onda para paridad impar estados para $x\ge0$
$$\begin{align}
\psi_I(z)&=\sin\xi z,\\
\psi_{II}(z)&=\frac{\sin\xi}{\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}(\beta-1)\right)}\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\left(\beta-z\right)\right).
\end{align}$$
Incluso la paridad de los estados, toma esta forma de $x\ge0$:
$$\begin{aligned}
\psi_I(z)&=\cos\xi z,\\
\psi_{II}(z)&=\frac{\cos\xi}{\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}(\beta-1)\right)}\sin\left(\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\left(\beta-z\right)\right).
\end{aligned}$$
Para $x<0$ esto debe quedar reflejado de acuerdo a la paridad de estado (es decir, incluso el estado de wavefunctions obedecer $\psi(-x)=\psi(x)$, impar queridos $\psi(-x)=-\psi(x)$).
La espectral de la ecuación de $\xi$ va a tomar la forma
$$f^\pm(\xi)=0,$$
donde
$$\newcommand{\sinc}{\operatorname{pues}}
\newcommand{\piso}[1]{\lfloor#1\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\lceil#1\rceil}
\newcommand{\hfloor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{\hceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
f^-(\xi)=(\beta-1)\sinc\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\cos\xi+\cos\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\sinc\xi$$
para paridad impar estados, y
$$f^+(\xi)=(\beta-1)\xi\sinc\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\sin\xi-\cos\left((\beta-1)\sqrt{\xi^2-\gamma^2}\right)\cos\xi$$
incluso la paridad de los estados.
Raíz de separadores
Ahora vamos a encontrar la raíz de los separadores para pares e impares de la paridad de los estados.
Extraño caso
Definir
$$\xi^- _ a(m)=\begin{cases}
\frac{-\pi m+(\beta-1)\sqrt{(\beta-2)\beta\gamma^2+\pi^2m^2}}{\beta(\beta-2)}&\mathrm{if}\;\;\pi m\ge\gamma\\
\pi m&\mathrm{otherwise}
\end{casos},$$
$$\begin{align}
m^-_{1c}(m)&=\hceil{\frac{\xi^-_a(m)}{\pi}},\\
m^-_{2c}(m)&=\hceil{\Re\left\{\frac{\beta-1}\pi\sqrt{(\xi^-_a(m))^2-\gamma^2}\right\}},
\end{align}$$
$$\begin{align}
\xi^-_{1c}(m)&=\pi m^-_{1c}(m)\\
\xi^-_{2c}(m)&=\sqrt{\left(\frac{\pi m^-_{2c}(m)}{\beta-1}\right)^2+\gamma^2},
\end{align}$$
Ahora esta es la raíz del separador para el extraño caso
$$\xi^-(m)=\min(\xi^-_{1c}(m),\xi^-_{2c}(m)),$$
donde $m=0,1,2,...$.
Incluso en el caso de
Definir
$$\xi^+_(m)=\begin{cases}
\frac{-\pi(2m+1)+(\beta-1)\sqrt{4(\beta-2)\beta\gamma^2+\pi^2(2m+1)^2}}{2(\beta-2)\beta}&\mathrm{if}\;\;\pi m+\frac\pi2\ge\gamma\\
\pi m+\frac\pi2&\mathrm{otherwise}
\end{casos}$$
$$\begin{align}
m^+_{1c}(m)&=\hceil{\frac{\xi^+_a}\pi-\frac12},\\
m^+_{2c}(m)&=\hceil{\Re\left\{\frac{\beta-1}\pi\sqrt{(\xi^+_a)^2-\gamma^2}\right\}},
\end{align}$$
$$\begin{align}
\xi^+_{1c}(m)&=\frac\pi2+\pi m^+_{1c},\\
\xi^+_{2c}(m)&=\sqrt{\left(\frac{\pi m^+_{2c}}{\beta-1}\right)^2+\gamma^2}.
\end{align}$$
El separador raíz en el caso de que se
$$\xi^+(m)=\begin{cases}0&\mathrm{if}\;\;n=-1\\
\min(\xi^+_{1c}(m),\xi^+_{2c}(m))&\mathrm{otherwise},
\end{casos}$$
donde $m=-1,0,1,2,...$.
La localización de las raíces de la espectral de ecuaciones
Si definimos
$$R=\frac{B-A}2,$$
$$h=\frac{A+B}2,$$
$$z(\varphi)=Re^{i\varphi}+h,$$
donde $A$ $B$ $m$th y $(m+1)$th raíz de los separadores, entonces la raíz se puede encontrar utilizando
$$\xi'=h+R\left[\frac
{\displaystyle\int_0^{2\pi} w(\varphi)e^{2i\varphi}d\varphi}
{\displaystyle\int_0^{2\pi} w(\varphi)e^{i\varphi}d\varphi}\right],$$
donde $w(\varphi)=1/f^\pm(z(\varphi))$.
Resumen de la computación procedimiento
Dado el número de $n$ del estado queremos calcular la función de onda, hacemos lo siguiente:
Seleccione $\xi^+$ por extraño $n$ o $\xi^-$ incluso $n$, el uso de todas las expresiones de paridad impar de los estados para, incluso,$n$, e incluso la paridad impar $n$
Calcular la raíz separadores $A=\xi^\pm(\floor{n/2}-1)$ $b=\xi^\pm(\floor{n/2})$
Calcular la raíz $\xi'$ de los espectral de la ecuación
Sustituye la raíz de la espectral de la ecuación en la expresión para la función de onda
Opcionalmente normalizar la función de onda
