Ecuación de Riemann-Roch para curvas integradas adecuadas (no necesariamente no-singular!)

Question

En Qing Liu - Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas, el capítulo 7.3, Teorema 3.26 afirma el autor, el Teorema de Riemann-Roch de la siguiente manera:

Deje $f: X \rightarrow \text{Spec }k$ ser una curva proyectiva sobre un campo $k$. Entonces para un divisor de Cartier $D \in \text{Div}(X)$, tenemos $$\dim_kH^0(X,\mathcal{O}_x(D)) - \dim_k H^0(X,\omega_f \otimes \mathcal{O}_x(-D)) = \deg D +1 -p_a.$$

Aquí $\omega_f$ denota el 1-dualizing gavilla de $f$. En la siguiente página, en la Observación de 3.33, señala que si $X$ es un local completo de la intersección y la integral de la curva, entonces uno obtiene $$\dim_k H^0(X,\mathcal{O}_x(D)) = \deg D +1 -p_a(X)$$ if the degree of $D$ es lo suficientemente grande.

La ecuación es el que yo estoy buscando, excepto que me quiere soltar el supuesto de que $X$ es un local completar la curva de intersección.

Por tanto, la pregunta:

Deje $X$ ser una adecuada curva integral sobre el campo $k$. ¿La ecuación $$\dim_k H^0(X,\mathcal{O}_x(D)) = \deg D +1 -p_a(X)$$ hold for any Cartier divisor $D$ on $X$ with $\gr D \geq 2p_a(X)-1$?

Pensamientos: El deseado ecuación se mantiene en el caso de un l.c.yo. curva desde entonces, el dualizing gavilla es invertible y, a continuación, podemos trabajar con el grado de $\omega_f \otimes \mathcal{O}_x(-D)$, es decir, para $\deg D$ lo suficientemente grande, $\omega_f \otimes \mathcal{O}_x(-D)$ negativos en el grado y por lo tanto no global secciones. Tal vez hay otra manera de demostrar que este es el caso de la si $\deg D$ aumenta.

Otro enfoque es pensar en el primer cohomology plazo $\dim_k H^1(X,\mathcal{O}_X(D))$ en lugar de $\dim_k H^0(X,\omega_f \otimes \mathcal{O}_x(-D))$ (es decir, evitar el uso de la dualizing gavilla en todo) y para mostrar que se desvanece para $\deg D$ lo suficientemente grande. Un enfoque posible: Suponga $\pi: C \rightarrow \mathbb{P}^1$ a ser un adecuado integral de morfismos y deje $\mathbb{P}^1 = U_0 \cup U_\infty$ libre afín a la cubierta donde $x$ es regular en $U_0$ $1/x$ regular $U_\infty$. Vamos $V_0 = \pi^{-1}(U_0)$, $V_\infty = \pi^{-1}(U_\infty)$, a continuación, $C = V_0 \cup V_\infty$ abierto es afín a la cubierta de $C$ donde $V_0$ es el subconjunto abierto donde la función $x$ es regular y de forma análoga $V_\infty$ el abierto subconjunto donde la función $1/x$ es regular. Siguiendo las definiciones de Cech cohomology, $H^1(X,\mathcal{O}_X(D)) = 0$ si y sólo si $$\mathcal{O}_X(D)(V_0 \cap V_\infty) = \text{im}(d^0:C^0(\mathcal{O}_X(D))\rightarrow C^1(\mathcal{O}_X(D)))$$ where the latter is $$\left\{ (a_1 - a_0)_{V_0 \cap V_\infty} \mid (a_0,a_1) \in C^0(\mathcal{O}_X(D)) = \mathcal{O}_X(D)(V_0) \times \mathcal{O}_X(D)(V_\infty) \right\}.$$ Then all this provides the equivalence $H^1(X,\mathcal{S}_X(D)) = 0$ if and only if $$\forall \gamma \in \mathcal{O}_X(D)(V_0\cap V_\infty) \exists (a_0,a_1) \in \mathcal{O}_X(D)(V_0) \times \mathcal{O}_X(D)(V_\infty): \gamma = (a_1-a_0)_{V_0 \cap V_\infty}.$$ se Puede mostrar que esto último es cierto?

He encontrado ninguna referencia de esta ecuación con este par de supuestos, pero si usted sabe que uno, por favor hágamelo saber. Además, yo estaría muy agradecido por cualquier tipo de ayuda.

Editar: Sería suficiente si no hay una declaración como la siguiente:

Deje $f: X \rightarrow \text{Spec }k$ ser una curva proyectiva sobre un campo $k$. Deje $\mathcal{L}$ ser invertible gavilla en $X$ $\mathcal{F}$ a un arbitrario cuasi coherente gavilla en $X$. Entonces si $\deg \mathcal{L}$ es positivo suficiente, implicaría $$\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L},\mathcal{F}) = 0.$$

Por lo tanto si alguien sabe de referencia para este (o incluso una prueba) por favor, hágamelo saber o publique!

Muchas gracias.

Answer 1

Voy a suponer que la canónica mapa de $k \to H^0(X, \mathcal{O}_X)$ es un isomorfismo (no estoy exactamente seguro de cómo "curva" se define en Liu del libro). Voy a denotar $g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)$, y creo que esto está de acuerdo con lo que usted llame a $p_a$ bajo los supuestos realizados hasta la fecha. Como te explique en el post tenemos que demostrar que si hay un mapa distinto de cero $$ \mathcal{S}_X(D) \a \omega_X $$ donde $\omega_X$ es el dualizing módulo de $X$,$\deg(D) < 2g - 1$. Desde $X$ es una variedad, la dualizing módulo de torsión libre (esto es un hecho general). Por lo tanto, si hay un mapa distinto de cero, entonces es inyectiva y, por tanto, la inducida por el mapa $$ H^0(X, \mathcal{S}_X(D)) \H^0(X, \omega_X) $$ es inyectiva. Tenemos $$ \dim_k H^0(X, \mathcal{S}_X(D)) \geq \chi(\mathcal{S}_X(D)) = \deg(D) + 1 - g $$ y tenemos $\dim_k H^0(X, \omega_X) = g$. De inyectividad tenemos $$ \deg(D) + 1 - g \leq g \Leftrightarrow \deg(D) \leq 2g - 1 $$ Esto demuestra lo que quiere, excepto en el caso de que la igualdad se mantiene. En este caso la igualdad posee todas partes, lo que significa que $\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X(D) = \chi(\mathcal{O}_X(D))$ y, por tanto,$H^1(X, \mathcal{O}_X(D)) = 0$. Así, el resultado es cierto en este caso.

Answer 2

No sé cómo demostrar que $h^0(\mathcal{O}_X(D)) = \deg D + 1 - p_a(X)$ mantiene tan pronto como $\deg D > 2p_a - 2$. Pero no es demasiado duro para demostrar que existe un entero positivo $N$ tal que la igualdad tiene como pronto como $\deg D > N$.

De hecho, existe un divisor $D_0$ tal que $H^1(X, \mathcal{O}_X(D_0)) = 0$ (tomar una lo suficientemente grande múltiples de un amplio divisor a $X$). Deje $N = \deg D_0 + p_a(X) - 1$. Deje $\deg D > n$. A continuación, $\deg (D - D_0) > p_a(X) - 1$ y$$h^0(X, \mathcal{O}_X(D - D_0)) \ge \deg (D - D_0) + 1 - p_a(X) > 0.$$So $D$ is linearly equivalent to $D_0 + E$ with $E$ effective. So $H^1(X, \mathcal{S}_X(D))$ is isomorphic to $H^1(X, \mathcal{S}_X(D_0 + E))$ and the exact sequence$$0 \to \mathcal{O}_X(D_0) \to \mathcal{O}_X(D_0 + E) \to \mathcal{O}_X(D_0 + E)|_E \to 0$$implies that $H^1(X, \mathcal{S}_X(D_0)) \H^1(X, \mathcal{S}_X(D_0 + E))$ is surjective because the support of $\mathcal{S}_X(D_0 + E)|_E$ has dimension $0$.

Para el estudio de $H^1(X, \mathcal{O}_X(D))$, uno puede reducir al caso (por lineal de equivalencia) reducir para el caso de que $D$ tiene apoyo en el locus de $X$, y comparar el $H^1$ $X$ $H^1$ en la normalización de $X$. Pero tengo que decir que yo no puedo concluir...

Deje $f: X \rightarrow \text{Spec }k$ ser una curva proyectiva sobre un campo $k$. Deje $\mathcal{L}$ ser invertible gavilla en $X$ $\mathcal{F}$ a un arbitrario cuasi coherente gavilla en $X$. Entonces si $\deg \mathcal{L}$ es bastante negativo, esto implicaría $$\text{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L},\mathcal{F}) = 0.$$

Lo que quiero es $\deg \mathcal{L}$ positiva suficiente. Bien, quiero decir que usted necesita algunas condiciones en $\mathcal{F}$. De lo contrario, tome $\mathcal{F}$ a ser, por ejemplo, rascacielos gavilla en un punto. Si $\mathcal{F}$ es el rascacielos gavilla en un punto, entonces la cosa se escribió nunca es distinto de cero.