Puntos cerrados de un producto de fibra de k-esquemas

Question

Esta pregunta viene de Shafarevich, Capítulo V. 4,

Deje $X$ $Y$ ser esquemas más de un algebraicamente cerrado campo de $k$. Mostrar que la correspondencia $ u \to (p_x(u),p_y(u)) $ establece un 1-1 mapa cerrado entre los puntos de $ X \times_k Y$ y los pares $(x,y)$ donde $x,y$ están cerrados los puntos de $X$ $Y$ respectivamente.

He estado tratando de abordar esto en el caso de los afín esquemas (estoy suponiendo que el caso general se reduce a este), donde$X = \mathrm{Spec }A$$Y = \mathrm{Spec }B$. En este caso, el fibred producto es $\mathrm{Spec }A \otimes_k B$ donde $A$ $B$ tiene la estructura de $k$-álgebras.

Puedo ver cómo esto funciona en el caso de los afín anillos (me.e finitely generado, reducción de k-álgebras), pero yo no veo por qué se debe trabajar en general. Por qué, por ejemplo, el mapa de proyección (inducida por $ a \to a \otimes 1$) enviar cerrada puntos a puntos cercanos?

Answer 1

Esto no es cierto. Si lo fuera, entonces $\mathbf C\otimes_\overline{\mathbf{Q}}\mathbf C$ sólo tendrían un ideal maximal, por lo tanto, sería un anillo local. Sin embargo, se sigue del teorema principal de este trabajo de Sweedler que $\mathbf C\otimes_\overline{\mathbf{Q}}\mathbf C$ no es un anillo local, debido a que $\mathbf C$ es trascendental $\overline{\mathbf Q}$.

Shafarevich sin duda quiso decir que el $X$ $Y$ eran finitos tipo más de $k$. Yo ya había leído mal tu pregunta como acerca de ese caso, y me escribió la siguiente respuesta. Aunque ahora veo que usted ya ha trabajado en este caso, tal vez alguien pueda beneficiarse, así que voy a dejar a mi viejo respuesta aquí:

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Esta es una de esas cosas que es completamente obvio desde el punto de vista de la geometría clásica: la imagen de un punto es un punto. ¿Qué más podría ser! Por regímenes, con "punto", que significa "punto cerrado", esto no es cierto en general, y el hecho de que es cierto para las variedades refleja una propiedad especial de afín álgebras de:

Si $f: A \to B$ es una de morfismos de afín $k$-álgebras y $\mathfrak m$ es un ideal maximal de a$B$, $f^{-1}(\mathfrak m)$ es la máxima ideal de $A$.

Para demostrarlo, considere la posibilidad de que el composite $A \to B \to k$ donde $B\to k$ es la evaluación en $\mathfrak m$ (cociente) mapa. Es obviamente surjective con kernel $f^{-1}(\mathfrak m)$, por lo tanto $f^{-1}(\mathfrak m)$ es máxima.

Observaciones:

Esto sigue siendo cierto si $k$ no es algebraicamente cerrado, pero el compuesto $A \to B/\mathfrak m = k'$, no necesitan ser surjective, porque $k'$ podría ser un trivial extensión de $k$. Sin embargo, su imagen todavía es un subcampo de la $k'$; para demostrarlo, se hace uso de Zariski del lexema, que he utilizado implícitamente en el algebraicamente cerrado caso para identificar a $B/\mathfrak m$$k$.

De manera más general, esto es cierto si $k$ es reemplazado por un Jacobson anillo de $R$. De hecho, la afirmación de que esta propiedad tiene para todos los morfismos de afín $R$-álgebras es equivalente a $R$ Jacobson.